Смекни!
smekni.com

Случайные события (стр. 2 из 20)


Рис. 2.1. График частоты появления герба как функции числа

бросаний монеты.

Естественно выдвинуть предположение о существовании предела,

, (2.2)

к которому стремится частота с увеличением числа

опытов. Однако, это предположение не может быть доказано или отвергнуто опытом. Но опыт подтверждает более слабое утверждение об устойчивости частоты появления события. Факт статистической устойчивости и является эмпирической основой теории вероятностей и математической статистики.

Понятие вероятности

Теория вероятностей - это математическая теория, которая дает описание экспериментов со случайными исходами, обладающих свойством статистической устойчивости. Теория вероятностей строится как аксиоматическая теория, то есть в ее основу положена система аксиом. В свою очередь аксиомы сформулированы на основе экспериментальных данных, а именно на свойствах частоты и, в частности, на факте статистической устойчивости, состоящем в тенденции частоты

появления события
стать постоянной и равной некоторому числу
при большом числе повторений
эксперимента
.

Таким образом, при построении теории необходимо ввести число

называемое вероятностью события
, что реализуется с помощью одной из аксиом, которая называется аксиомой существования вероятности. Далее необходимо рассмотреть основные свойства частот и выразить эти свойства как утверждения относительно свойств вероятностей. Эти утверждения вместе с постулатом существования вероятности образуют систему аксиом теории вероятностей.

Частоту

можно рассматривать как результат измерения (оценивания) вероятности
по экспериментальным данным. Таким образом, равенство
означает, что при большом числе
опытов
, а ошибка
имеет тенденцию снижаться с увеличением
. Поскольку
, то частота
появления события
в серии из
опытов удовлетворяет условию

. (3.1)

Аналогичному условию должна удовлетворять и вероятность:

. (3.2)

Рассмотрим значения вероятности на границах интервала

. Пусть
, тогда событие
называется невозможным и обозначается символом
. Для невозможного события его частота
и имеет тенденцию приближаться к нулю с увеличением числа
опытов. Если
, то событие
называется достоверным и обозначается символом
. Частота достоверного события
и с увеличением числа
опытов имеет тенденцию приближаться к единице.

Алгебра событий

Рассмотрим основные операции над событиями и понятие алгебры событий. Пусть

- некоторое событие.

1. Дополнением события

называется событие
, состоящее в том, что событие
не произошло.

Операциям над событиями можно давать простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим такую интерпретацию операции дополнения. Пусть эксперимент состоит в случайном бросании точки на плоскость, при этом множество условий

таково, что исход каждого опыта – это попадание точки в область
плоскости, рис.4.1. Реализовать такой опыт можно,


Рис. 4.1. Событие

и его дополнение
.

бросая шарик радиуса

в сосуд с плоским дном. При этом область
– это та часть дна сосуда, в которую может попасть центр шарика, то есть области
не принадлежит только полоса шириной
около стенки сосуда. Пусть
– подобласть области
. Множества
и
точек плоскости можно рассматривать как события:
– событие, состоящее в том, что случайно брошенная на плоскость точка попадет в область
; и событие
– это попадание точки в область
. По условию событие
появляется в каждом опыте, его вероятность
, следовательно,
– достоверное событие. По определению
– это событие, состоящее в том, что
не произошло. Поэтому в данной интерпретации
– это непопадание точки в область
, то есть
– попадание точки в заштрихованную область, рис.4.1.