2. Объединением (или суммой) двух событий и называется третье событие , состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий или . Для объединения будем использовать обозначение
или . (4.1)
Признаком операции объединения двух событий может служить союз "или" между ними. Операции объединения, аналогично дополнению, можно дать геометрическую интерпретацию. Пусть – событие, состоящее в том, что случайно брошенная на плоскость точка попала в область, обозначенную также , рис. 4.2. Аналогично событие – это попадание точки в область
Рис. 4.2. События , и их объединение .
. Тогда событие – это попадание точки в заштрихованную область, рис. 4.2.
Операция объединения определяется для произвольного числа событий. Например, событие
(4.2)
состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий , … . Событие
(4.3)
состоит в том, что происходит хотя бы одно из событий … . Очевидно операция объединения коммутативна по определению:
(4.4)
и ассоциативна, что также следует из определения:
. (4.5)
3. Пересечением (или произведением) двух событий и называется третье событие , состоящее в том, что произошли оба события и . Для обозначения операции пересечения будем использовать обозначения
или . (4.6)
Геометрическая интерпретация операции пересечения представлена на рис. 4.3., где и – события и – их пересечение – заштрихованная область.
Операция пересечения, также как и операция объединения, определяется для произвольного числа событий. Например, событие
(4.7)
состоит в том, что происходят все события Событие
(4.8)
состоит в том, что происходят все события
. (4.9)
По определению операция пересечения коммутативна, то есть выполняется условие:
, (4.10)
а также ассоциативна:
. (4.11)
Рис. 4.3. События , и их пересечение .
Операции объединения и пересечения взаимно дистрибутивны. В частности, операция объединения дистрибутивна относительно пересечения:
. (4.12)
На рис. 4.4,а представлены события горизонтальной штриховкой и вся левая часть (4.12) – вертикальной штриховкой. Аналогично на рис. 4.4, б представлены: событие – горизонтальной штриховкой, событие – вертикальной штриховкой, вся правая часть (4.12) – штриховкой "в клеточку".
а б
Рис. 4.4. Геометрическая иллюстрация дистрибутивности объединения относительно пересечения.
Аналогично (4.12) операция пересечения дистрибутивна относительно
объединения:
. (4.13)
На рис. 4.5, а представлены: событие – горизонтальной штриховкой и левая часть соотношения (4.13) – штриховкой "в клеточку". На рис. 4.5,б: событие – горизонтальной штриховкой, событие – вертикальной штриховкой и вся правая часть (4.13) – это вся заштрихованная область.
а б
Рис. 4.5. Геометрическая иллюстрация дистрибутивности пересечения относительно объединения.
Отметим, что если в (4.13) для операции объединения использовать знак "+", а для пересечения – отсутствие знака, то (4.13) принимает хорошо знакомый вид:
(4.14)
– закона дистрибутивности умножения относительно сложения в алгебре чисел. В отличие от этого закон дистрибутивности (4.12) сложения относительно умножения не имеет аналога в алгебре чисел.
4. Рассмотренные операции над событиями носят алгебраический характер. Поэтому в теории вероятностей важное значение имеет алгебра событий, которая определяется следующим образом.
Система событий называется алгеброй событий, если для любой пары событий и из условий
(4.15)
следует, что события , , , содержатся в .