Говорят, что алгебра событий – это система событий, замкнутая относительно операций дополнения, пересечения и объединения.
Событие

называется невозможным, если

. Для обозначения невозможного события будем использовать символ Æ.
Событие

называется достоверным, если

. Обозначается достоверное событие символом

. Очевидно Æ

=Æ,

.
События

и

называются противоположными. Имеют место равенства

,

,

.
События

и

называются несовместными, если

. Поскольку

, то события

и

– несовместные.
События

образуют полную группу, если

. (5.1)
Это означает, что в результате опыта появится хотя бы одно из событий, образующих полную группу.
События

и

называются независимыми, если

не зависит от того произошло событие

или нет, и наоборот,

не зависит от того произошло или нет событие

.
Если событие

происходит всякий раз, когда происходит событие

, то

называется следствием события

, это записывается в виде соотношения

или

, (5.2)
что читается как "из

следует

" и "

есть следствие

". Отношению следствия можно дать геометрическую интерпретацию, рис. 5.1.

Рис. 5.1. Событие

и его следствие

.
Если

и

, то события

и

называются эквивалентными, это записывается в виде

.
Событие

, состоящее в том, что событие

произошло, а событие

не произошло, называется разностью событий

и

и обозначается

. (5.3)
Из определения следует

, таким образом,

. (5.4)
Если в первом равенстве (5.4) положить

, то

.
Геометрическая интерпретация разности двух событий

и

представлена на рис. 5.2.

Рис. 5.2. События

,

и их разность

.
В теории вероятностей и ее приложениях важную роль играет так называемый принцип двойственности, который может быть выражен соотношениями:

, (6.1)

. (6.2)
Из равенства (6.1) следует (6.2) и наоборот. Например, выполним замену в (6.1)

,

, тогда (6.1)

или

, что совпадает с (6.2).
Возьмем в (6.1) дополнение в обеих частях и поменяем местами правую и левую части, тогда

, (6.3)
теперь из (6.1) можно получить (6.3), если события

и

заменить на противоположные

и

, объединение на пересечение и наоборот – пересечение на объединение. Таким образом, для всякого утверждения, относящегося к некоторой системе событий, может быть сформулировано эквивалентное ему двойственное утверждение путем указанной замены событий и операций над событиями.
К принципу двойственности следует отнести еще одно соотношение:

, (6.4)
геометрическая интерпретация которого очевидна и представлена на рис. 6.1, где

отмечено горизонтальной штриховкой и

– вертикальной штриховкой.

Рис. 6.1. События

,

и их дополнения.
Рассмотрим геометрическое доказательство соотношения (6.1). Его левую часть можно представить областью с горизонтальной штриховкой, рис.6.2. Аналогично на рис. 6.3 выделены события:

– горизонтальной