Смекни!
smekni.com

Случайные события (стр. 4 из 20)

Говорят, что алгебра событий – это система событий, замкнутая относительно операций дополнения, пересечения и объединения.

Основная терминология в алгебре событий

Событие

называется невозможным, если
. Для обозначения невозможного события будем использовать символ Æ.

Событие

называется достоверным, если
. Обозначается достоверное событие символом
. Очевидно Æ
=Æ,
.

События

и
называются противоположными. Имеют место равенства
,
,
.

События

и
называются несовместными, если
. Поскольку
, то события
и
– несовместные.

События

образуют полную группу, если

. (5.1)

Это означает, что в результате опыта появится хотя бы одно из событий, образующих полную группу.

События

и
называются независимыми, если
не зависит от того произошло событие
или нет, и наоборот,
не зависит от того произошло или нет событие
.

Если событие

происходит всякий раз, когда происходит событие
, то
называется следствием события
, это записывается в виде соотношения

или
, (5.2)

что читается как "из

следует
" и "
есть следствие
". Отношению следствия можно дать геометрическую интерпретацию, рис. 5.1.

Рис. 5.1. Событие

и его следствие
.

Если

и
, то события
и
называются эквивалентными, это записывается в виде
.

Событие

, состоящее в том, что событие
произошло, а событие
не произошло, называется разностью событий
и
и обозначается

. (5.3)

Из определения следует

, таким образом,

. (5.4)

Если в первом равенстве (5.4) положить

, то
.

Геометрическая интерпретация разности двух событий

и
представлена на рис. 5.2.

Рис. 5.2. События

,
и их разность
.

Принцип двойственности для событий

В теории вероятностей и ее приложениях важную роль играет так называемый принцип двойственности, который может быть выражен соотношениями:

, (6.1)

. (6.2)

Из равенства (6.1) следует (6.2) и наоборот. Например, выполним замену в (6.1)

,
, тогда (6.1)
или
, что совпадает с (6.2).

Возьмем в (6.1) дополнение в обеих частях и поменяем местами правую и левую части, тогда

, (6.3)

теперь из (6.1) можно получить (6.3), если события

и
заменить на противоположные
и
, объединение на пересечение и наоборот – пересечение на объединение. Таким образом, для всякого утверждения, относящегося к некоторой системе событий, может быть сформулировано эквивалентное ему двойственное утверждение путем указанной замены событий и операций над событиями.

К принципу двойственности следует отнести еще одно соотношение:

, (6.4)

геометрическая интерпретация которого очевидна и представлена на рис. 6.1, где

отмечено горизонтальной штриховкой и
– вертикальной штриховкой.

Рис. 6.1. События

,
и их дополнения.

Рассмотрим геометрическое доказательство соотношения (6.1). Его левую часть можно представить областью с горизонтальной штриховкой, рис.6.2. Аналогично на рис. 6.3 выделены события:

– горизонтальной