Смекни!
smekni.com

Случайные события (стр. 5 из 20)

Рис. 6.2. Дополнение объединения двух событий

и
.

штриховкой,

– вертикальной штриховкой и
– штриховкой "в клеточку".

Рис. 6.3. Пересечение дополнений двух событий

и
.

Таким образом, левая и правая части соотношения (6.1) совпадают.

Условные вероятности

Пусть события

и
имеют вероятности
и
. Рассмотрим вероятность события
, если известно, что произошло событие
. При этом в общем случае вероятность события
изменяется и становится отличной от
. Эта вероятность обозначается
и называется условной вероятностью события
при условии, что
произошло, или просто – вероятностью
при условии
.

Следует различать две ситуации. 1). Если

, то события
и
зависимые. 2). Если
, то события
и
независимые. Рассмотрим пример: бросание игральной кости. Пусть событие
- это выпадение единицы,
- выпадение нечетного числа. Тогда
=1/6, а
=1/3, следовательно
и
- зависимые события.

Если

- результат опыта, то
называют доопытной или априорной вероятностью события
, а условную вероятность
- послеопытной или апостериорной вероятностью события
.

Формула сложения вероятностей

Образуем из событий

и
с помощью операций дополнения и пересечения следующие четыре события:

. (8.1)

Система четырех событий (8.1) является полной группой несовместных событий. Действительно, пересечение любых двух событий из этой системы является невозможным событием. Например, пересечение первого и второго событий:

. Таким образом, первое и второе события в (8.1) несовместны. Аналогично можно показать несовместность двух любых событий из (8.1). Теперь рассмотрим объединение всех событий системы (8.1):

где
- достоверное событие. Поскольку (8.1) полная группа несовместных событий, то в каждом опыте происходит одно и только одно событие из возможных четырех событий (8.1).

Пусть эксперимент

выполнялся
раз, и в качестве его исхода событие
наблюдалось
раз, событие
наблюдалось
раз, событие
-
раз и событие
-
раз. Очевидно,

. (8.2)

Частоты появления событий (8.1) определяются соотношениями:

. (8.3)

Рассмотрим объединение первого и второго событий (8.1):

. Поэтому частота

. (8.4)

Аналогично

и частота
события
имеет вид:

. (8.5)

Теперь рассмотрим объединение первых трех событий системы (8.1):

. (8.6)

Отсюда:

. (8.7)

Сравнивая (8.3) - (8.5), (8.7), получаем равенство:

, (8.8)

которое представляет собой формулу (или теорему) сложения частот.

Отсюда следует, что в аксиомах теории вероятностей должна быть определена формула сложения вероятностей, аналогичная соотношению (8.8):

. (8.9)

Если события

и
несовместны, то
=0 и формула сложения вероятностей принимает вид:

. (8.10)

Формула умножения вероятностей

Объединение первых двух событий системы (8.1)

. В последовательности из
опытов событие
появилось
раз, а событие
-
раз. Поэтому событие
появилось
раз. Определим число появлений события
при условии, что событие
произошло. Событие
происходит, если происходит
или
, число таких исходов равно
, при этом событие
происходит, если происходит
, число таких исходов равно
. Таким образом, условная частота появления события
при условии, что
произошло