
Рис. 6.2. Дополнение объединения двух событий

и

.
штриховкой,

– вертикальной штриховкой и

– штриховкой "в клеточку".

Рис. 6.3. Пересечение дополнений двух событий

и

.
Таким образом, левая и правая части соотношения (6.1) совпадают.
Пусть события

и

имеют вероятности

и

. Рассмотрим вероятность события

, если известно, что произошло событие

. При этом в общем случае вероятность события

изменяется и становится отличной от

. Эта вероятность обозначается

и называется условной вероятностью события

при условии, что

произошло, или просто – вероятностью

при условии

.
Следует различать две ситуации. 1). Если

, то события

и

зависимые. 2). Если

, то события

и

независимые. Рассмотрим пример: бросание игральной кости. Пусть событие

- это выпадение единицы,

- выпадение нечетного числа. Тогда

=1/6, а

=1/3, следовательно

и

- зависимые события.
Если

- результат опыта, то

называют доопытной или априорной вероятностью события

, а условную вероятность

- послеопытной или апостериорной вероятностью события

.
Образуем из событий

и

с помощью операций дополнения и пересечения следующие четыре события:

. (8.1)
Система четырех событий (8.1) является полной группой несовместных событий. Действительно, пересечение любых двух событий из этой системы является невозможным событием. Например, пересечение первого и второго событий:

. Таким образом, первое и второе события в (8.1) несовместны. Аналогично можно показать несовместность двух любых событий из (8.1). Теперь рассмотрим объединение всех событий системы (8.1):

где

- достоверное событие. Поскольку (8.1) полная группа несовместных событий, то в каждом опыте происходит одно и только одно событие из возможных четырех событий (8.1).
Пусть эксперимент

выполнялся

раз, и в качестве его исхода событие

наблюдалось

раз, событие

наблюдалось

раз, событие

-

раз и событие

-

раз. Очевидно,

. (8.2)
Частоты появления событий (8.1) определяются соотношениями:

. (8.3)
Рассмотрим объединение первого и второго событий (8.1):

. Поэтому частота

. (8.4)
Аналогично

и частота

события

имеет вид:

. (8.5)
Теперь рассмотрим объединение первых трех событий системы (8.1):

. (8.6)
Отсюда:

. (8.7)
Сравнивая (8.3) - (8.5), (8.7), получаем равенство:

, (8.8)
которое представляет собой формулу (или теорему) сложения частот.
Отсюда следует, что в аксиомах теории вероятностей должна быть определена формула сложения вероятностей, аналогичная соотношению (8.8):

. (8.9)
Если события

и

несовместны, то

=0 и формула сложения вероятностей принимает вид:

. (8.10)
Объединение первых двух событий системы (8.1)

. В последовательности из

опытов событие

появилось

раз, а событие

-

раз. Поэтому событие

появилось

раз. Определим число появлений события

при условии, что событие

произошло. Событие

происходит, если происходит

или

, число таких исходов равно

, при этом событие

происходит, если происходит

, число таких исходов равно

. Таким образом, условная частота появления события

при условии, что

произошло