. (9.1)
Из соотношений (8.3), (8.4), (9.1) следует:
(9.2)
- формула умножения частот.
Эту формулу можно получить в другом виде. Аналогично (9.1)
, (9.3)
поскольку событие и появляется раз в последовательности из опытов, при этом событие происходит раз. Из соотношений (9.3) и (8.3), (8.5) следует:
(9.4)
- второй вариант формулы умножения частот.
Поэтому в аксиомах теории вероятностей должна быть определена, или получена как следствие аксиом, формула умножения вероятностей:
. (9.5)
Если события и независимые, то условные вероятности равны безусловным: , тогда (9.5) принимает вид:
. (9.6)
Равенство (8.9) несложно обобщить на случай произвольного конечного числа событий. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий равна
. (10.1)
Здесь, например , означает тройную сумму по индексам , и , которые пробегают значения и удовлетворяют условию . Это условие приводит к уменьшению числа слагаемых тройной суммы по сравнению с числом слагаемых в тройной сумме без ограничений на индексы суммирования. Последнее слагаемое (10.1) можно также рассматривать как - кратную сумму по индексам при условии на индексы: , что и приводит к вырождению - кратной суммы до одного слагаемого (10.1).
Пусть события являются несовместными, тогда из (10.1) следует
(10.2)
- вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.
Формула (9.5) умножения вероятностей обобщается на случай произвольного конечного числа событий. Вероятность того, что произойдет каждое из событий равна
. (11.1)
Рассмотрим важный частный случай формулы (11.1) для событий независимых в совокупности.
Определение. События называются независимыми в совокупности, если события и - независимые при любом выборе событий из данной совокупности и любом .
Для независимых и условные вероятности и формула (11.1) принимает вид
. (11.2)
Отметим, что из независимости событий в совокупности следует их парная независимость. Но обратное утверждение неверно. Рассмотрим этот факт на примере Бернштейна. Пусть три грани правильного тетраэдра окрашены соответственно в красный ( ), зеленый ( ) и синий ( ) цвета, а четвертая - в три цвета ( ). Вероятность упасть тетраэдру гранью, на который есть, например, красный цвет, равна . Условная вероятность оказаться на этой грани красному цвету при условии, что на ней есть уже зеленый равна . Таким образом, события и независимы. Аналогично, рассматривая любую пару событий, несложно определить, что события , и С попарно независимы. Однако вероятность упасть гранью, на которой есть все три цвета равна . Отсюда следует, что события , и С не являются независимыми в совокупности.
Рассмотрим примеры решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей.
Определить вероятность разрыва цепочки из параллельно соединенных элементов, если вероятность разрыва в каждом элементе одинакова и равна . Разрыв цепочки из параллельных элементов означает наступление каждого из независимых в совокупности событий , , - разрыв -го элемента. Таким образом, необходимо определить . Согласно формуле (11.2)