
. (9.1)
Из соотношений (8.3), (8.4), (9.1) следует:

(9.2)
- формула умножения частот.
Эту формулу можно получить в другом виде. Аналогично (9.1)

, (9.3)
поскольку событие

и появляется

раз в последовательности из

опытов, при этом событие

происходит

раз. Из соотношений (9.3) и (8.3), (8.5) следует:

(9.4)
- второй вариант формулы умножения частот.
Поэтому в аксиомах теории вероятностей должна быть определена, или получена как следствие аксиом, формула умножения вероятностей:

. (9.5)
Если события

и

независимые, то условные вероятности равны безусловным:

, тогда (9.5) принимает вид:

. (9.6)
Равенство (8.9) несложно обобщить на случай произвольного конечного числа событий. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий

равна

. (10.1)
Здесь, например

, означает тройную сумму по индексам

,

и

, которые пробегают значения

и удовлетворяют условию

. Это условие приводит к уменьшению числа слагаемых тройной суммы по сравнению с числом

слагаемых в тройной сумме без ограничений на индексы суммирования. Последнее слагаемое (10.1) можно также рассматривать как

- кратную сумму по индексам

при условии на индексы:

, что и приводит к вырождению

- кратной суммы до одного слагаемого (10.1).
Пусть события

являются несовместными, тогда из (10.1) следует

(10.2)
- вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.
Формула (9.5) умножения вероятностей обобщается на случай произвольного конечного числа событий. Вероятность того, что произойдет каждое из событий

равна

. (11.1)
Рассмотрим важный частный случай формулы (11.1) для событий независимых в совокупности.
Определение. События

называются независимыми в совокупности, если события

и

- независимые при любом выборе событий

из данной совокупности и любом

.
Для независимых

и

условные вероятности

и формула (11.1) принимает вид

. (11.2)
Отметим, что из независимости событий в совокупности следует их парная независимость. Но обратное утверждение неверно. Рассмотрим этот факт на примере Бернштейна. Пусть три грани правильного тетраэдра окрашены соответственно в красный (

), зеленый (

) и синий (

) цвета, а четвертая - в три цвета (

). Вероятность упасть тетраэдру гранью, на который есть, например, красный цвет, равна

. Условная вероятность оказаться на этой грани красному цвету при условии, что на ней есть уже зеленый равна

. Таким образом, события

и

независимы. Аналогично, рассматривая любую пару событий, несложно определить, что события

,

и С попарно независимы. Однако вероятность упасть гранью, на которой есть все три цвета равна

. Отсюда следует, что события

,

и С не являются независимыми в совокупности.
Рассмотрим примеры решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей.
Определить вероятность разрыва цепочки из

параллельно соединенных элементов, если вероятность разрыва в каждом элементе одинакова и равна

. Разрыв цепочки из

параллельных элементов означает наступление каждого из независимых в совокупности событий

,

,

- разрыв

-го элемента. Таким образом, необходимо определить

. Согласно формуле (11.2)