Случайные события (стр. 7 из 20)
. 
(11.3)
Определить вероятность разрыва цепочки из 
последовательно соединенных элементов, если вероятность разрыва в каждом элементе одинакова и равна 
. В данном случае разрыв цепочки означает наступление хотя бы одного из независимых в совокупности событий 
, 
. Следовательно, необходимо определить 
. Для этого можно воспользоваться формулой (10.1). Однако более простой путь получения решения - это вычисление через дополнительное событие 
, которое состоит в том, что 
-й элемент остается в рабочем состоянии. Очевидно 
, откуда 
- вероятность того, что каждый элемент в рабочем состоянии. Следовательно, вероятность выхода из строя хотя бы одного элемента
. (11.4)
Представляет интерес сравнения результатов (11.3) и (11.4). Например, при 
и 
получаем 
и 
Формула полной вероятности
Пусть 
- полная группа несовместных событий. Тогда выполняются условия:
(12.1)
- достоверное событие и для любых 
пересечение 
- невозможное событие. Представим некоторое событие 
в виде
. (12.2)
Далее используем свойство дистрибутивности пересечения относительно объединения, тогда
. (12.3)
Отметим, что при любых события 
и 
несовместны. Действительно, 
. Поэтому из (12.3) следует
(12.4)
или, выражая вероятность пересечения через произведение вероятностей согласно (9.5),
. (12.5)
Равенство (12.5) называется формулой полной вероятности.
В частном случае попарно независимых событий 
и 
условные вероятности 
и преобразуется следующим образом:
.
Таким образом, для независимых событий и 
формула (12.5) вырождается в равенство 
.
Формула Байеса
Пусть также как в п.12 несовместные события образуют полную группу и - некоторое событие. Согласно формуле умножения вероятностей (9.5)
. (13.1)
Отсюда
. (13.2)
Здесь знаменатель 
можно представить по формуле полной вероятности (12.5). Тогда
. (13.3)
Формулы (13.2) и (13.3) называются формулами Байеса.
Формулам Байеса может быть дана следующая интерпретация. Пусть событие 
- это исход опыта. Тогда вероятности 
можно назвать априорными или доопытными, а вероятности 
- апостериорными или послеопытными. Таким образом, формула (13.3) связывает между собой априорные и апостериорные вероятности событий 
, т.е. позволяют учесть информацию, полученную в результате опыта и ее влияние на вероятность событий 
.
Для независимых событий 
и 
условные вероятности 
, тогда правая часть (13.3) преобразуется следующим образом:
,
и формула (13.3) принимает вид 
.
Пространство элементарных событий
14.1 В общей теоретико-вероятностной схеме для каждого эксперимента со случайным исходом должны быть указаны все элементарные исходы, удовлетворяющие двум условиям: 1) в результате эксперимента происходит один и только один из этих исходов, 2) по смыслу элементарный исход неразложим на «более элементарные». Каждый такой исход принято называть элементарным событием и обозначать символом
. Рассмотрим примеры элементарных исходов.1. В опыте с бросанием монеты элементарными событиями являются:
- выпадение герба, 
- выпадение «решетки». При этом считается, что стать на ребро монета не может.2. В эксперименте с игральной костью элементарные события
- это появление грани соответственно с номерами 1,...,6.3. Последовательность из
бросаний монеты. Здесь элементарными событиями являются последовательности вида: 
, где 
- появление герба или 
- появление «решетки». Число элементарных событий (разных последовательностей) равно 
.4. В эксперименте с бросанием точки на отрезок
элементарное событие - это попадание точки в некоторую координату отрезка , что принято изображать точкой, расположенной в данной координате отрезка . Поэтому говорят, что элементарное событие в данном случае - это точка отрезка 
.5. В эксперименте с бросанием двух точек на отрезок
элементарное событие - это пара точек на или одна точка в квадрате 
.