
.

(11.3)
Определить вероятность разрыва цепочки из

последовательно соединенных элементов, если вероятность разрыва в каждом элементе одинакова и равна

. В данном случае разрыв цепочки означает наступление хотя бы одного из независимых в совокупности событий

,

. Следовательно, необходимо определить

. Для этого можно воспользоваться формулой (10.1). Однако более простой путь получения решения - это вычисление через дополнительное событие

, которое состоит в том, что

-й элемент остается в рабочем состоянии. Очевидно

, откуда

- вероятность того, что каждый элемент в рабочем состоянии. Следовательно, вероятность выхода из строя хотя бы одного элемента

. (11.4)
Представляет интерес сравнения результатов (11.3) и (11.4). Например, при

и

получаем

и
Пусть

- полная группа несовместных событий. Тогда выполняются условия:

(12.1)
- достоверное событие и для любых

пересечение

- невозможное событие. Представим некоторое событие

в виде

. (12.2)
Далее используем свойство дистрибутивности пересечения относительно объединения, тогда

. (12.3)
Отметим, что при любых

события

и

несовместны. Действительно,

. Поэтому из (12.3) следует

(12.4)
или, выражая вероятность пересечения через произведение вероятностей согласно (9.5),

. (12.5)
Равенство (12.5) называется формулой полной вероятности.
В частном случае попарно независимых событий

и

условные вероятности

и преобразуется следующим образом:

.
Таким образом, для независимых событий

и

формула (12.5) вырождается в равенство

.
Пусть также как в п.12 несовместные события

образуют полную группу и

- некоторое событие. Согласно формуле умножения вероятностей (9.5)

. (13.1)
Отсюда

. (13.2)
Здесь знаменатель

можно представить по формуле полной вероятности (12.5). Тогда

. (13.3)
Формулы (13.2) и (13.3) называются формулами Байеса.
Формулам Байеса может быть дана следующая интерпретация. Пусть событие

- это исход опыта. Тогда вероятности

можно назвать априорными или доопытными, а вероятности

- апостериорными или послеопытными. Таким образом, формула (13.3) связывает между собой априорные и апостериорные вероятности событий

, т.е. позволяют учесть информацию, полученную в результате опыта и ее влияние на вероятность событий

.
Для независимых событий

и

условные вероятности

, тогда правая часть (13.3) преобразуется следующим образом:

,
и формула (13.3) принимает вид

.
14.1 В общей теоретико-вероятностной схеме для каждого эксперимента со случайным исходом должны быть указаны все элементарные исходы, удовлетворяющие двум условиям: 1) в результате эксперимента происходит один и только один из этих исходов, 2) по смыслу элементарный исход неразложим на «более элементарные». Каждый такой исход принято называть элементарным событием и обозначать символом

. Рассмотрим примеры элементарных исходов.
1. В опыте с бросанием монеты элементарными событиями являются:

- выпадение герба,

- выпадение «решетки». При этом считается, что стать на ребро монета не может.
2. В эксперименте с игральной костью элементарные события

- это появление грани соответственно с номерами 1,...,6.
3. Последовательность из

бросаний монеты. Здесь элементарными событиями являются последовательности вида:

, где

- появление герба или

- появление «решетки». Число элементарных событий (разных последовательностей) равно

.
4. В эксперименте с бросанием точки на отрезок

элементарное событие - это попадание точки в некоторую координату отрезка

, что принято изображать точкой, расположенной в данной координате отрезка

. Поэтому говорят, что элементарное событие в данном случае - это точка отрезка

.
5. В эксперименте с бросанием двух точек на отрезок

элементарное событие - это пара точек на

или одна точка в квадрате

.