Случайные события (стр. 8 из 20)

14.2. Множество всех элементарных событий в теории вероятностей принято называть пространством элементарных событий и обозначать буквой

. Элементарные события называют точками пространства элементарных событий .

14.3. Всякий результат эксперимента со случайным исходом принято называть событием. Для каждого события

и каждого элементарного события известно, влечет наступление или нет, т.е. выполняется условие или нет. Тем самым совокупность тех , которые влекут , полностью определяют . Обратно: произвольное множество точек можно рассматривать как событие , которое происходит или нет в зависимости от того, принадлежит или нет множеству элементарное событие , представляющее данный исход опыта. Таким образом, событие можно считать подмножеством , состоящим из точек , представляющих те исходы эксперимента, при которых происходит . По этой причине нет различия между событием и соответствующим подмножеством .

14.4. Рассмотрим примеры пространств элементарных событий. 1). В эксперименте с бросанием монеты пространство элементарных событий

, где - появление герба, - появление «решетки». 2). При бросании игральной кости пространство элементарных событий , где - выпадение грани с номером . 3). Если опыт состоит в бросании монеты раз, то пространство элементарных событий состоит из всех последовательностей вида , где - появление герба или - появление «решетки». Число всех последовательностей (или точек пространства) равно . 4). В опыте с бросанием точки на отрезок пространство элементарных событий - это отрезок . 5). Наконец, при бросании двух точек на отрезок пространство элементарных событий - это квадрат .

Аксиомы теории вероятностей

Пусть

- пространство элементарных событий,

- алгебра событий (алгебра подмножеств множества

). В основании теории вероятностей лежат следующие пять аксиом.

1. Алгебра событий

является

- алгеброй событий.

Система событий

называется

- алгеброй, если для всякой последовательности событий

,

, их объединение

, пересечение

и дополнения

, также принадлежат

, т.е.

,

,

являются также событиями. Таким образом,

- алгебра

- это система событий, замкнутая относительно операций дополнения, счетного объединения и счетного пересечения.

2. На

- алгебре событий

для любого

определяется функция

, называемая вероятностью и принимающая числовые значения из интервала [0,1] :

.

Данная аксиома - это аксиома существования вероятности

- как функции на

со значениями из интервала

. Следующие три аксиомы определяют свойства функции

.

3. Для любых двух событий

, таких, что

(15.1)

- аксиома сложения вероятностей.

Отсюда следует, что для конечного числа несовместных событий

. (15.2)

4. Пусть

,

, - попарно несовместные события:

и пусть

. Тогда

. (15.3)

Соотношение (15.3) называется аксиомой счетной аддитивности вероятности или аксиомой непрерывности вероятности. Второе связано со следующей интерпретацией равенства (15.3). Событие

следует понимать как предел последовательности

. (15.4)

При этом равенство (15.3) можно понимать как свойство непрерывности функции

:

или