
(15.5)
- которое позволяет операцию предела вынести за функцию

. Это обусловлено тем, что из условия (15.5) следует (15.3):

. (15.6)
5.

. (15.7)
Пятая аксиома указывает на то, что пространство элементарных событий

- есть достоверное событие. Таким образом,

содержит в себе все события, которые можно рассматривать в данной задаче.
Пространство элементарных событий

,

- алгебра событий

и вероятность

на

, удовлетворяющие аксиомам 1-5, образуют так называемое вероятностное пространство, которое принято обозначать

.
Отметим, что система аксиом 1-5 не противоречива, так как существуют

, удовлетворяющие этим аксиомам и не полна, так как вероятность

можно определить многими способами в рамках аксиом 2-5. Понятие вероятностного пространства (или система аксиом 1-5) содержит лишь самые общие требования, предъявляемые к математической модели случайного явления, и не определяет вероятность однозначно. Последнее возможно только с учетом дополнительных условий, заданных в постановке рассматриваемой задачи.
Вероятностное пространство

называется дискретным, если

конечно или счетно,

-

- алгебра всех подмножеств

(включая

), вероятность

определена для каждого одноточечного подмножества

пространства элементарных событий

:

,

, (16.1)

. (16.2)
Для любого события

его вероятность

определяется равенством

. (16.3)
17.1. Пусть

- произвольное пространство элементарных событий, на котором не заданы какие-либо события. Для построения

- алгебры согласно определению (п.15) необходимо рассмотреть все дополнения, объединения и пересечения заданных событий и включить их в

- алгебру. Поскольку в данном случае имеется единственное событие

, то возможно построить только его дополнение

. Теперь имеется система из двух событий {

}. Дальнейшее применение операций дополнения, объединения, пересечения не дает новых событий. Таким образом, в данном примере

- алгебра

.
17.2. Пусть

- пространство элементарных событий и

- некоторое событие, не совпадающее с

, т.е.

. Таким образом, имеется система из двух событий

. Эту систему можно расширять, включая в нее новые события, которые получаются в результате операций дополнения, объединения, пересечения над событиями

. Процедуру расширения системы событий имеет смысл продолжить рекуррентно до прекращения появление новых событий. Предельная система событий называется

- алгеброй, порожденной системой событий

.
Рассмотрим операцию дополнения над событиями системы. Ее результат

,

- это новые события, не содержащиеся в исходной системе

, включение которых дает новую систему событий

. (17.1)
Очевидно, последующие операции дополнения, объединения, пересечения не дают новых событий, не содержащихся в (17.1). Таким образом, система событий (17.1) является

- алгеброй, порожденной системой

.
17.3. Усложним пример. Пусть

- пространство элементарных событий,

- два несовместных события, таких что

. Таким образом, имеется система трех событий

. Операция объединения над событиями этой системы приводит к появлению одного нового события

. Полученная система четырех событий расширяется до восьми путем включения их дополнений. Несложно видеть, что применение операций дополнения, объединения, пересечения к этим восьми событиям не порождает новых событий. Таким образом, система восьми событий

(17.2)
является

- алгеброй, порожденной системой событий

.
17.4. Рассмотрим

- пространство элементарных событий и два произвольных события

, рис. 17.1. Для построения

- алгебры, порожденной некоторой системой событий, во многих случаях удобно применить следующий прием.
На

выделим все несовместные события

, рис. 17.1. При этом

,

,

,

,

и т.д.

- алгебра будет содержать все события

, все объединения событий

, а также невозможное событие

. Действительно, операция пересечения любых событий из множества

порождает единственное событие

. Операция дополнения над событиями из множества

порождает событие, которое выражается через объединение событий

. Следовательно, над событиями

достаточно рассмотреть только операцию объединения, вместо трех операций - дополнения, пересечения, объединения для исходной системы событий

.