Алгебра и начало анализа (стр. 2 из 6)

№6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin

).

1. область определения - множество всех действительных чисел;
2. множество значений - [-1; 1];
3. функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех
   ;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом
   ;
5. sin(x) = 0 при x =
   ;
6. sin(x) > 0 для всех
   ;
7. sin(x) < 0 для всех
   ;
8. функция возрастает на
   ;
9. функция убывает на
   .

№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается cos

)

1. область определения - множество всех действительных чисел;
2. множество значений - [-1; 1];
3. функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех
   ;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом
   ;
5. cos(x) = 0 при
   ;
6. cos(x) > 0 для всех
   ;
7. cos(x) > 0 для всех
   ;
8. функция возрастает на
   ;
9. функция убывает на
   

№8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом (обозначается tg

).

1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида
   ;
2. множество значений - вся числовая прямая;
3. функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом
   ;
5. tg(x) = 0 при х =
   ;
6. tg(x) > 0 для всех
   ;
7. tg(x) < 0 для всех
   ;
8. функция возрастает на
   .

№9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется котангенсом (обозначается ctg

)

1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида
   ;
2. множество значений - вся числовая прямая;
3. функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;
4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом
   ;
5. ctg(x) = 0 при x =
   ;
6. ctg(x) > 0 для всех
   ;
7. ctg(x) < 0 для всех
   ;
8. функция убывает на
   .

Ответ № 10

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
2. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т. е. а₂ - а₁ = а₃ - а₂ = ... = a_k - a_k-1 = ... . Это число называется разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.
3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (а_n), достаточно знать ее первый член а₁ и разность d.
4. Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.
5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е.
   (1)
6. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: a_n = a₁ + d(n-1). (2)
7. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид:
   (3)
8. Если в формулу (3) подставить вместо а_n его выражение по формуле (2), то получим соотношение
   
9. Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a₁ + a_n = a₂ + a_n-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Ответ № 11

1. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b₂:b₁ = b₃:b₂ = ... = b_n:b_n-1 = b_n+1:b_n = ... . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.
3. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (b_n), достаточно знать ее первый член b₁ и знаменатель q.
4. Если q > 0 (
   ), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b₁= -2, q = 3, тогда геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.
5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность (b_n) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е.
   (1)
6. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:
   (2)
7. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид:
   ,
   (3)
8. Если в формулу (3) подставить вместо b_n его выражение по формуле (2), то получится соот-ношение.
   ,
   (4)
9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b₁b_n = b₂b_n-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при

1. Пусть (x_n) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где
   и
   . Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой удовлетворяет условию
   , называется предел суммы n первых ее членов при
   .
2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда верна формула
   .

№ 12