Алгебра и начало анализа (стр. 4 из 6)

№ 16

1. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
   
   
   
   Рис.1 Рис.2
   Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол
   и на угол
   (рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов
   и
   . Пусть координаты точки В равны х₁ и y_1, координаты точки С равны х₂ и y_{2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы}
   и
   . По определению скалярного произведения векторов:
   
   
   
   = х₁х_{2 +} y₁y₂. (1)
   Выразим скалярное произведение
   
   
   через тригонометрические функции углов
   и
   . Из определения косинуса и синуса следует, что
   х₁ = R cos
   , y₁ = R sin
   , х₂ = R cos
   , y₂ = R sin
   .
   Подставив значения х₁, х₂, y₁, y₂ в правую часть равенства (1), получим:
   
   
   
   = R²cos
   cos
   + R²sin
   sin
   = R²(cos
   cos
   + sin
   sin
   ).
   С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
   
   
   
   =
   
   cos
   BOC = R²cos
   BOC.
   Угол ВОС между векторами
   и
   может быть равен
   -
   (рис.1),
   - (
   -
   ) (рис.2) либо может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos
   BOC = cos (
   -
   ). Поэтому
   
   
   
   = R² cos (
   -
   ).
   Т.к.
   
   
   равно также R²(cos
   cos
   + sin
   sin
   ), то
   cos(
   -
   ) = cos
   cos
   + sin
   sin
   .
   
   cos(
   +
   ) = cos(
   - (-
   )) = cos
   cos(-
   ) + sin
   sin(-
   ) = cos
   cos
   - sin
   sin
   .
   Значит,
   cos(
   +
   ) = cos
   cos
   - sin
   sin
   .
2. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:
   
   sin(
   +
   ) = cos(
   /2 - (
   +
   )) = cos((
   /2 -
   ) -
   ) = cos(
   /2 -
   ) cos
   + sin(
   /2 -
   ) sin
   = sin
   cos
   + cos
   sin
   .
   Значит,
   sin(
   +
   ) = sin
   cos
   + cos
   sin
   .
   
   sin(
   -
   ) = sin(
   + (-
   )) = sin
   cos(-
   ) + cos
   sin(-
   ) = sin
   cos
   - cos
   sin
   .
   Значит,
   sin(
   -
   ) = sin
   cos
   - cos
   sin
   .

№ 17