Алгебра и начало анализа (стр. 5 из 6)

Формулы двойных углов

Формулы сложения позволяют выразить sin 2

, cos 2 , tg 2 , ctg 2 через тригонометрические функции угла .
Положим в формулах
sin( + ) = sin cos + cos sin ,
cos( + ) = cos cos - sin sin ,
,
.
равным . Получим тождества:

sin 2

= 2 sin cos ;
cos 2 = cos² - sin² = 1 - sin² = 2 cos² - 1;
; .

№ 18

Формулы половинного аргумента

1. Выразив правую часть формулы cos 2
   = cos²
   - sin²
   через одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
   cos 2
   = 1 - sin²
   , cos 2
   = 2 cos²
   - 1.
   Если в данных соотношениях положить
   =
   /2, то получим:
   cos
   = 1 - 2 sin²
   /2, cos 2
   = 2 cos²
   /2 - 1. (1)
2. Из формул (1) следует, что
   
   (2),
   (3).
3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим
   
   (4).
4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой координатной четверти находится угол
   /2.
5. Полезно знать следующую формулу:
   
   .

№ 19

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое преобразование, могут быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin

+ sin , положим = x + y и = x - y и воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin + sin = sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
Решив теперь систему уравнений = x + y, = x - y относительно x и y, получим х = , y = .
Следовательно,
sin + sin = 2 sin cos .
Аналогичным образом выводят формулы:
sin -sin = 2 cos sin ;
cos + cos = 2 cos cos ;
cos + cos = -2 sin sin .