по Алгебре и геометрие
Федеральное агентство связи
Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики
Межрегиональный центр переподготовки специалистов
Контрольная работа
По дисциплине: Алгебра и геометрия
Выполнил: Шевыряев А.Н.
Группа: СДТ-03
Вариант:6
Проверил: ___________________
Новосибирск, 2010 г
Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.
a) Решение системы методом Крамера.
Формулы Крамера:
Найдем значения неизвестных:
Выполним проверку:
b) Решение системы методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы:
Выполним преобразования:
1) умножим первую строку на (-2) и сложим со 2-й строкой матрицы;
2) умножим первую строку на (-3) и сложим с 3-й строкой матрицы;
3) умножим 2-ю строку на (-1) и сложим с 3-й строкой матрицы.
В результате получили матрицу системы треугольного вида.
Запишем итоговую систему:
Найдем значения неизвестных:
Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды
. Найти:1) длину ребра
;2) угол между ребрами
и 
;3) площадь грани
;4) уравнение плоскости
.5) объём пирамиды
.Решение.
Рисунок 1.
1) Длина ребра равна расстоянию между точками
и 
или модулю вектора 
. Расстояние между точками 
и 
вычисляется по формуле 
. Подставляя в эту формулу исходные данные, получим 
2) Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры:
В нашем случае:
Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,
3) Площадь грани
можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
численно равна модулю их векторного произведения. В нашем случае 
4) Уравнение плоскости
будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки 
: 
; 
; 
Полученное уравнение является уравнением плоскости
.5) Объем пирамиды
найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно 
Найдем смешанное произведение векторов
: 
