Решение задач на построение сечений многогранников (стр. 2 из 3)

Отсюда следует, что одна центральная проекция точки не определяет положение точки в пространстве.

Рис.2

Для определения положения точки в пространстве необходимо иметь две центральные проекции точки, полученные из двух различных центров проецирования (рис.2).

Достоинство центрального проецирования - наглядность. Недостаток - степень искажения изображения зависит от расстояния центра проекций до плоскости проекций, поэтому центральное проецирование неудобно для простановки размеров.

В машиностроительном черчении применяется параллельное проецирование.

Параллельное проецирование.

Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования, когда центр проекций лежит в несобственной точке S

, поэтому все проецирующие лучи параллельны.

Рис.3

Аппарат параллельного проецирования задан, если задано положение плоскости проекций и направление проецирования S.

Все свойства центрального проецирования справедливы для параллельного проецирования:

1. При задании аппарата параллельного проецирования каждая точка пространства имеет одну и только одну параллельную проекцию. Обратное утверждение не имеет места.
2. Для задания точки в пространстве необходимо иметь две её параллельные проекции, полученные при двух различных направлениях проецирования.

Параллельное проецирование делится на:

• Прямоугольное -
  =90° (
  - угол падения проецирующего луча к плоскости проекций).
• Косоугольное -
  
  90°.

Основные инвариантные (независимые) свойства параллельного проецирования.

При параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики геометрических фигур (происходит искажение линейных и угловых величин), причём степень нарушения зависит как от аппарата проецирования, так и от положения проецируемой геометрической фигуры в пространстве по отношению к плоскости проекции.

Рис.4

Пример: (A,B,C,D) |AB| |A B |, |BC| |B C | и т.д. |DAB| |D A B |, |ABC| |A B C | и т.д.

Но наряду с этим, между оригиналом и его проекцией существует определённая связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Эти свойства называются инвариантными (проективными) для данного способа проецирования.

В процессе параллельного проецирования (получения проекций геометрической фигуры по её оригиналу) или реконструкции чертежа (воспроизведения оригинала по заданным его проекциям) любую теорему можно составить и доказать, базируясь на инвариантных свойствах параллельного проецирования, которые в начертательной геометрии играют такую же роль, как аксиомы в геометрии.

Следовательно, можно утверждать, что в начертательной геометрии существуют две системы аксиом:

• одна система используется при параллельном проецировании - это суть инвариантные свойства параллельного проецирования.
• другая система используется, когда проекции построены и решается плоская задача (задача на плоскости) - это аксиомы евклидовой геометрии.

Отсюда ясно, насколько важно выяснить и хорошо усвоить эти инвариантные свойства.

1. Проекция точки есть точка.

2. Проекция прямой линии на плоскость есть прямая линия.

(Для всех прямых, не параллельных направлению проецирования, проекция прямой есть прямая.)

3. Если в пространстве точка инцидентна (принадлежит) линии, то проекция этой точки принадлежит проекции линии.

Следствие: Если прямые пересекаются в точке K, то проекции прямых пересекаются в проекции точки - K

.

4. Проекции взаимно параллельных прямых также взаимно параллельны.

5. Отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков.

6. Если плоская фигура параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в конгруэнтную фигуру.

При параллельном переносе плоскости проекций величина проекций не изменится, следовательно, мы можем не рисовать положение плоскости проекций.

Для построения обратимого чертежа необходимо иметь две взаимосвязанные проекции оригинала.

Поэтому только прямоугольное (ортогональное) проецирование, по крайней мере, на две взаимно перпендикулярных плоскости проекций является основным методом построения технического чертежа (метод Монжа).

Ортогональное (прямоугольное) проецирование обладает рядом преимуществ перед центральным и параллельным (косоугольным) проецированием.

К ним в первую очередь следует отнести:

• простоту геометрических построений для определения ортогональных проекций точек
• возможность при определённых условиях сохранять на проекциях форму и размеры оригинала.

Поэтому этот метод удобен для простановки размеров.

(http://www.ssau.ru/books/gubanov/lection1.htm)

Пересечение многогранников плоскостью.

Многогранником называется пространственная фигура, ограниченная замкнутой поверхностью, состоящей из отсеков плоскостей, имеющих форму многоугольников.

Стороны многоугольников образуют рёбра, а плоскости многоугольников - грани многогранника.

Поэтому задачу по определению линии пересечения поверхности многогранника плоскостью можно свести к многократному решению задачи по нахождению:

а) линии пересечения двух плоскостей (граней многогранника и секущей плоскости)
или
б) точки встречи прямой (рёбер многогранника) с секущей плоскостью.

(http://www.ssau.ru/books/gubanov/lection1.htm)

Основной типовой задачей на эту тему в школьной программе является построение сечения, по трем, заданным на поверхности многогранника, точкам, принадлежащим секущей плоскости. Алгоритм построения такого сечения следующий: 1) Выбираем наиболее подходящую грань многогранника для построения на ее плоскости (далее плоскость основания) (т.е. плоскости к которой принадлежит выбранная грань) следа секущей плоскости. Для данных

1)

целей наиболее подходящей является грань, на ребра которой можно опустить проекцию от каждой заданной точки.

(На картинке: MÎ(ASE); KÎ(ESD); NÎ(BSC). В данном примере наиболее подходящей является грань (ABCDE))

2)Проецируем каждую заданную точку на плоскость основания. Существует два возможных вида проециро-вания: центральное и параллельное. Центральное проецирование, как правило, используется при построении сечений пирамид, а вершина пирамиды, при этом является центром проекции. Параллельное проецирование используется при построении сечений призм. (в данном примере используем центральное проецирование. Опускаем из вершины S к плоскости

2)

проекций проецирующие лучи:(SM),(SK),(SN). Назовем получившиеся при пересечении проецирующих лучей с ребрами, образованными основанием и боковыми сторонами пирамиды: M’, K' и N’, соответственно.)