Короткий курс теорії функції Зільберта (стр. 2 из 2)
Тогда на ∀ факультете ∃ пара такая, что отображение f ∃ и не единственно, более того, таких отображений ∃ минимум два.
Проверить самостоятельно.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
N-угольники в пространстве Зильберта
1. Регулярный одноугольник
Определение. Регулярный одноугольник – геометрическая фигура, (
состоящая из вершины (точки A) и дуги (AA):
Теорема (о длине дуги регулярного одноугольника)
Пусть γ – регулярный одноугольник с вершиной в точке A. Возь(
мём точку B∈γ, B≠ A. Тогда длина дуги AB равна
( B
l AB( ) =∫dξ.
A
Замечание. Если A=B, то длина дуги неопределена и условно
∞
считается равной
.8
Упражнение. Доказать эту теорему самостоятельно.
2. Пространство двуугольников, измеримых по Зильберту
Определение. Двуугольник называется измеримым по Зильберту, если у него 2 угла, причём один угол – первый, а другой – второй.
Примеры
1. Простой двуугольник
2. Прямой равноугольный двуугольник
3. Прямоугольный двуугольник
Замечание. Двуугольники бывают выпуклые и впуклые, например
Теорема
Впуклые двуугольники измеримыми по Зильберту не являются. Это следует из основной предельной теоремы Зильберта-Остроградского.
Теорема
В пространстве Зильберта Zn двуугольники, измеримые по Зильберту, можно дифференцировать, интегрировать и брать от них невязку ⇔ мат. ожидание косого геликоида, содержащего этот двуугольник, имеет предел, который сходится к константе Бернулли.
Доказательство. Клянусь Демидовичем!
3. Пространство треугольников, измеримых по Зильберту
Определение. Треугольник называется измеримым по Зильберту, если сумма его углов больше 1800 .
Примеры
1. Треугольник Зильберта
2. Треугольник Штрассермана (штреугольник) – имеет 3 прямых угла
3. А этот треугольник не измерим по Зильберту
4. Классификация одноугольников
Одноугольники могут иметь 1, 2 или 3 вершины, если дуга незамкнута и имеет самопересечения.
Примеры
Замечание. Если число вершин >3, одноугольник называется вырожденным. Точка тоже вырожденный случай. Такие одноугольники мы рассматривать не будем.
Пример
5. Шестиугольник ATBCEB
Теорема. Рассмотрим шестиугольник ATBCEB и расположим его стороны в порядке возрастания. Тогда сумма длин его сторон в пространстве Лобачевского, умноженная на cosecτ, где
τ∈ −( 4.7,18] – дискретная функция, которая принимает 2 значе-
ния: {1, 15} в зависимости от знака cosecτ.
Замечание. Эта теорема будет доказана на старших курсах.
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
Определение 1. Последовательность
очень слабо сходится к элементу ξ∈Z (пространство Зильберта) ⇔ мы этого хотим слабо.Определение 2. Последовательность
очень сильно сходится к элементу ξ∈Z ⇔ мы этого хотим сильно.Теорема (Коклюшкина)
Определения 1 и 2 неэквивалентны.
Доказательство. Действительно, мы же не можем одновременно хотеть одного и того же слабо и сильно! Теорема доказана.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Рассмотрим сумму с коэффициентами ck , где
k−1
| f ck = k−1 k | k −1 −∑ | f j ∏ i=0 xj − xi i≠ j |
xn − xi 
∏(xk − xl ) j=0 
i=0 i
и, пожалуй, хватит.
ЗАДАЧИ
1. Как доопределить остаточный член функции Зильберта в выколотой окрестности ∞, в точке {–6} так, чтобы относительно винтовой линии (n–3) порядка cosϕ и sinϕ были параллельны?
(Ответ – молча)
2. (Прикладная задача мат. статистики) Берём константу Бернулли и устремляем её на
. Вопрос: как будет вести себя на беско-нечности трансцендентная функция, умноженная на константу Бернулли? (Ответ – вызывающе)
3. Доказать, что в пространстве Зильберта Zn числитель и знаменатель ортогональны, а их нормы и невязки скрещиваются.
4. Попробуйте на досуге проаппроксимировать функцию Зильберта З(x) константами Бернулли.
5. Введём в рассмотрение функцию Бюншмана Б(x)
n
Б( )x = −|| f ∑c yk k ||
k=1
Вопрос: как теперь вывести её из рассмотрения?
6. Доказать, что у всех девушек волосы одного цвета. Решение (методом мат. индукции).
10. При n=1 утверждение верно: у одной девушки волосы одного цвета.
678k 678k
000...0014243 000...0014243
k+1 k+1
Рис. 1.
20. Пусть утверждение верно при n=k. Докажем его для n=k+1. Внимательно рассмотрим k+1 девушку. У первых k девушек волосы одного цвета (по предположению), и у последних k девушек волосы одного цвета, значит, у k+1 девушки волосы одного цвета.
Утверждение доказано.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ:
1. В учебнике по теории функции Зильберта использованы конспекты студентов мех-мата по:
- матанализу,
- линейной алгебре,
- диффурам,
- теормеху,
- функану,
- теорверу,
- комплану,
- дифф. геометрии,
- теории управления, - численным методам, где все имена и теоремы вымышленные, любое сходство с уже существующими случайно.
2. Демидович Б. П. “Сборник задач и упражнений по математическому анализу”.
Также здесь фигурируют фразы и выражения некоторых преподавателей с мех-мата, кто знает, тот поймёт.
Тираж 600 экземпляров.
Цена 20 коп.