Короткий курс теорії функції Зільберта (стр. 1 из 2)

Министерство Образования и Науки Украины

Харьковский национальный университет

А.А. Тензор, В.В. Невязкин

Краткий курс теории функции Зильберта

(на русском и украинском языках)

ТОМ 1

Харьков 2007

DFGKJH5676

Издание первое и последнее

© 2007 А.А. Тензор, В.В. Невязкин кафедра теории функции Зильберта

ОГЛАВЛЕНИЕ:

Математический анализ		4
Линейная алгебра		5
Дифференциальные уравнения		6
Теоретическая механика		6
Функциональный анализ		7
Теория вероятности		8
Комплексный анализ		9
Дифференциальная геометрия		10
Теория управления		14
Численные методы		15
Задачи		16
Список использованной литературы		18

МАТАНАЛІЗ

Теорема (Зільберта-Штольца)

Функція Зiльберта З(x) має в околі точки x похідні до (n–1) порядку включно.

Доведення (від приємного). Припустимо, що З(x) має похідні до (n+8) порядку включно. Це дурниця.

Теорема (Штрассермана)

Функція Штрассермана ШТР(x,з,ю) розкладається в ряд Тейлора з залишковим членом у вигляді функції Зільберта З(x).

Доведення. Оскільки Функція Штрассермана досить приємна на вигляд, ми можемо записати нерівність:

ШТР(х,з,ю)

Отримали суперечність. Теорему доведено.

Зауваження 1. Ви спитаєте, при чому у попередній теоремі функція Зільберта? Відповідаємо – просто так!

Зауваження 2. Значення функції ШТР(π,з,ю) покладемо рівним πˆ (пі з дахом):

ШТР(π, ,з ю) ≡πˆ .

Якщо це не так, доповнимо інтеграл Пуассона порожніми брусами. Це корисна вправа.

Означення. Функція Штрассермана ШТР(x,з,ю), що діє на функцію Зільберта З(x), називається оператором блабла ∇.

ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Твердження

Якщо ранг матриці Якобі J

дорівнює –1, та у тому випадку, коли власні вектори ортонормованого базису кореневого підпростору Зільберта

<α,β, ,γσ,...,χ₁,ω,ψ>

не усі нулі, можна записати тотожність:

k

k→1

j=−9

Доведення. Приймемо цю теорему на віру.

Наслідки

Згідно до цієї теорії можна потрапити до лікарні.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

Означення. Матрицею Петросяна називають матрицю П(x), у якої елементи, що стоять на головній диагоналі, належать функції Зільберта З(x).

Означення. Детермінант матриці Петросяна – петросяніан

П[З(x)].

Теорема (про замкненість петросяніана)

Якщо петросяніан задовольняє умовам теореми Зільберта-Штольца, і виконана достатня умова теореми Штрассермана, то петросяніан П[З(x)] – замкнена множина на інтервалі [

, π-arctgμ], де μ – неперервна функція.

Доведення. Наш інтервал [

, π-arctgμ] – компакт ⇒ за теоре-

мою Вейєрштраса-Ляпунова, він має скінченне покриття. Спрямуємо μ на +∞ &bsol;{2} та підставимо правий кінець інтервала у петросяніан. Отримали:

П

,

а це означає, що петросяніан – замкнена множина, оскільки

). Теорему доведено.

ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА

Принцип локалізації в’язей до (n-8) порядку включно

Якщо спочатку подивитися наліво, а потім направо, то, використовуючи метод віртуальних ітерацій, можемо найкоротшим шляхом прийти на схід.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Неравенство Треугольника*.

*Треугольник И.И. – выдающийся Харьковский математик, один из основателей теории функции Зильберта.

Теорема 1

Пусть α, ,bξ – стороны треугольника.

Тогда α+b>ξ. (1)

Замечание. “> ” – знак “больше так сказать” – это то же самое, что знак “>” в пространстве Римана, только в пространстве Штрассермана ШТРⁿ.

Теорема 2

В принятых обозначениях b+ξ>α. (8)

Теорема 3

В принятых обозначениях α+ξ>b. (9)

Доказательство теоремы 1 (от приятного). Пусть это не так, то есть α+b<ξ. (11)

Но это противоречит аксиоматике Зильберта, согласно которой все теоремы верны!

Упражнение. Теоремы 2,3 доказать самостоятельно.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ

В теории функции Зильберта существует сходимость “так сказать”, “как надо” и ”как не надо”, а именно:

Определение. Последовательность

сходится “так сказать” к числу ξ∈Z (пространство Зильберта) ⇔ выполнены условия:

1. положим ξ=δ,

2. ∀ >ε 0 ∃δ: |ξ_k −δ|>ε.

3. мат. ожидание функции Зильберта M[З(x)] равно константе Бернулли.

Обозначается ξ_k ⎯^так⎯⎯⎯⎯^{сказать}→ξ.

Определение. Последовательность

сходится “как надо” к числу ξ∈Z: ξ_k ⎯⎯→^КН⎯^{. .} ξ ⇔ дисперсия случайной величины ξ_k равна интегралу Пуассона от трансцендентной функции.

Определение. Последовательность

сходится “как не надо” к числу ξ∈Z: ξ_k ⎯⎯ →^{К Н Н.} ⎯^{. .} ξ ⇔ дисперсия случайной величины ξ_k равна нулю.

Определение. Функциональная последовательность f (ξ_k ) _←^⎯_⎯⎯^⎯→ Λ

ξ λ→→

коллинеарно сходится к Λ, когда ξ равномерно сходится к λ с

1

вероятностью

⇔ f '(ξ_k ) > 0, ∀k: λ<k<Λ.

k

КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ

Теорема. Рассмотрим конформное отображение f из области D в область G:

D а б в г д е ж з и к

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

f : D → G

G а б в г д е ж з и к

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10