Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства (стр. 12 из 20)

Перейдем к формальным построениям. Пусть задано пространство толерантности

.

2.3.1 Определение

Множество

называется предклассом в , если любые два его элемента и толерантны, т.е. для них выполнено соотношение: .

Лемма. Для того, чтобы два элемента

и

были толерантны, необходимо и достаточно, существовал предкласс

, содержащий оба этих элемента.

Доказательство. Если

и лежат в предклассе , то по определению 2.3.1 предкласса выполнено соотношение . Если , то множество само образует предкласс, так как, кроме исходного соотношения, выполнены также соотношения и .

2.3.2 Определение

Множество

называется классом толерантности в , если есть максимальный предкласс.

Это значит, что любое множество

уже не является предклассом. Или, иначе, , не входящего в , существует элемент , не толерантный к .

Лемма. Всякий предкласс содержится хотя бы в одном классе

.

Доказательство. Проведем его лишь для случая, когда само множество

конечно. Пусть – предкласс. Если – есть класс, то лемма доказана. Если – не класс, то в множестве существует элемент , толерантный ко всякому элементу из . Добавим такой элемент к , т.е. рассмотрим множество . Тогда и снова является предклассом. Либо – класс, либо мы продолжаем дальше этот процесс расширения предкласса до класса. Поскольку множество конечно, то через конечное число шагов наше построение класса закончится.

Следствие. Всякий элемент

содержится в некотором классе, т.е. система классов толерантности образует покрытие множества

.

Действительно, в силу рефлексивности,

и множество , состоящее из одного элемента , образует предкласс.

2.3.3 Лемма

Для того, чтобы два элемента

и

были толерантны, необходимо и достаточно, чтобы существовал класс, содержащий оба этих элемента.

Все подготовлено к тому, чтобы сформулировать и доказать основную классификационную теорему.

Теорема. Пусть

– произвольное пространство толерантности, а

– множество всех его классов толерантности. Тогда существует отображение

такое, что элементы из

толерантны в том и только в том случае, когда толерантны их образы в

.

Доказательство. Выберем в качестве

отображение, которое каждому элементу сопоставляет множество , состоящее из всех содержащих его классов. По следствию из леммы 2.3.2 . По лемме 2.3.3 отношение выполнено в том и только в том случае, когда , т.е. и содержат общий класс.

Если

– конечно, то количество всех его подмножеств конечно и поэтому конечно пространство . Поэтому вместо отображения можно взять отображение , где – число классов толерантности в , которое каждому элементу сопоставляет множество номеров, содержащих его классов: (здесь ).