Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства (стр. 13 из 20)

Толерантность элементов

и означает, что среди номеров, сопоставленных элементам и согласно , есть хотя бы один общий. Т.е. и имеют общий числовой признак. Рассмотрим всюду определенное соответствие , которое каждому сопоставляет все классы, в которые он входит. Из леммы 2.3.3 следует, что равносильно тому, что у и y имеется общий образ в .

(Л. Кальмар – С. Якубович) Теорема. Произвольное отношение толерантности

на множестве

можно задать как отношение

с помощью некоторого всюду определенного соответствия

.

2.4 Классы толерантности в некоторых конкретных пространствах толерантности

Рассмотрим пространство

. Это пространство толерантности состоит из множеств номеров вида , где все , причем элементы и толерантны, если они содержат общий номер.

Обозначим через

множество всех элементов, содержащих номер . Например, при и , состоит из элементов . Ясно, что если и , то они заведомо имеют общий номер , и поэтому . Значит, есть предкласс. Пусть теперь – произвольный элемент, не входящий в , а – тот элемент из , который имеет единственный номер . Ясно, что не выполнено, поскольку не содержит номера , а содержит только этот номер. Значит, предкласс нельзя расширить и поэтому справедлива следующая лемма.

2.4.1 Лемма

Множество

является классом толерантности.

Так как

состоит из всех множеств вида , то число элементов множества равно – число всех подмножеств множества из оставшихся номеров.

Найденных классов

достаточно, чтобы задать толерантность в .

Точный смысл этого утверждения состоит в том, что соотношение

выполняется тогда и только тогда, когда существует класс содержащий одновременно и . Действительно, если , то и содержат некоторый общий номер , и тем самым входят в класс . Обратное столь же очевидно. Значит, лемма 2.3.3 допускает для пространства уточнение. Для проверки толерантности достаточно ограничиться проверкой вхождения в один из классов . Однако, в кроме есть еще классы толерантности. Так, в множество образует класс. Ясно, что этот класс не совпадает ни с одним , так как не содержит элементов вида .

Определение. Совокупность

классов в пространстве толерантности называется базисом, если:

1) для всякой толерантной пары

и существует класс , содержащий оба этих элемента: ;

2) удаление из

хотя бы одного класса приводит к потере этого свойства, т.е. существует толерантная пара , , для которой является единственным общим классом толерантности в .

Замечание. Произвольная система классов толерантности, обладающая свойством 1) из определения 2.4.1, содержит базис. Чтобы выделить этот базис, достаточно последовательно удалить "лишние" классы. В качестве исходной системы можно выбрать все множество классов. Отсюда следует существование базиса в любом пространстве толерантности.

Теорема. Пусть

– произвольное пространство толерантности, а

– базис. Тогда существует отображение

такое, что элементы из

толерантны в том и только в том случае, когда толерантны их образы в

.