Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства (стр. 14 из 20)

Смысл теоремы состоит в том, что любое пространство толерантности реализуется как система множеств классов из базиса с естественной толерантностью типа

.

Выше было показано, что в пространстве толерантности

набор классов образует базис, не совпадающий с совокупностью всех классов.

Установим одно простое свойство всех классов толерантности в

.

2.4.2 Лемма

Если

– класс толерантности в

, содержащий элемент

, то

.

Доказательство. Действительно, все элементы, толерантные к

, обязаны содержать номер в своем наборе. Значит, . Но есть класс, т.е. по определению не может целиком содержаться в другом классе. Значит, .

2.4.3 Лемма

В пространстве

существует единственный базис:

.

Доказательство. Пусть

– базис в . Тогда в нем должен существовать класс, содержащий элемент . По предыдущей лемме таким классом может быть только . Значит, базис должен содержать все классы . Но они уже сами образуют базис, т.е. .

В силу определения базиса толерантность в

можно задать только признаками, соответствующими базисным классам .

Итак, в пространстве

остальные классы играют чисто паразитическую роль, не участвуя ни в одном базисе. Вообще говоря, существуют пространства толерантности с неединственным базисом.

Рассмотрим пространство

. Оно состоит из целочисленных кортежей длины , где . Обозначим через множество, состоящее из всех элементов, для которых . Легко проверить, что эти множества образуют классы толерантности. Итак, класс – это совокупность кортежей, у которых фиксированная координата принимает фиксированное значение. Из определения толерантности в сразу следует, что классы образуют базис. Общее количество этих классов равно , а каждый класс содержит элементов.

2.5 Связь отношений эквивалентности и толерантности

Когда отношение толерантности оказывается транзитивным, т.е. превращается в свой частный случай – в отношение эквивалентности, то классы толерантности превращакугся в классы эквивалентности. Так как классы эквивалентности не пересекаются, справедлива

Лемма. Отношение толерантности

янлнигся отношением эквивалентности тогда и только тогда, когда классы толерантности не пересекаются друг с другом.

Вернемся теперь к изучению отображения

, построенного в процессе доказательства теоремы 2.3.1 и выясним, какие элементы из имеют одинаковый образ при отображении , т.е. отчего бывает не инъективным.

2.5.1 Определение

Пусть

– пространство толерантности. Множество называется ядром, если существует такая совокупность классов , , , что есть совокупность всех элементов из , каждый из которых входит во все эти и только эти классы.

Ядра – это прообразы при отображении

. Действительно, ядро состоит из всех тex элементов , для которых образ есть именно это множество классов толерантности: . Отсюда ясно, что непустые ядра образуют разбиение, множества и тем самым задают отношение эквивалентности. Мы попробуем разобраться, как это отношение связано с исходной толерантностью.

Пусть задано пространство толерантности

, Далее мы будем обозначать через множество всех элементов, толерантных к . Отношение на определим условием

Иначе говоря,

означает, что и толерантны к одним идем же элементам.

Лемма. Для того чтобы выполнялось соотношение

, необходимо и достаточно, чтобы

и

лежали в одном и том же ядре

.

Доказательство. Пусть

и принадлежат ядру . По лемме 2.3.3 множество состоит из всех элементов, входящих хотя бы в один из классов Но то же самое справедливо и для множества , т.е. или . Обратно. Предположим, что , и пусть принадлежит некоторому классу . Тогда для любого будет выполнено соотношение . В силу выполнено и . Значит, (поскольку – максимальный предкласс). Аналогично показывается, что всякий класс, содержащий , содержит одновременно . Итак, и принадлежат одной и той же совокупности классов, а значит, и общему ядру. Лемма доказана.