Смекни!
smekni.com

Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства (стр. 15 из 20)

Следствие. Отношение

есть эквивалентность, а непустые ядра сложат для
классами эквивалентности.

Отметим очевидное включение

В случае эквивалентности классы не пересекаются и каждое ядро совпадает со своим классом толерантности:

, и, кроме того, для любого
.

Заметим, что при обобщении понятия эквивалентности – переходе к толерантности – понятие класса эквивалентности расщепляется на два разных понятия – класс толерантности и ядро.

2.5.2 Определение

Пространство толерантности

называется безъядерным, если каждое ядро состоит не более чем из одного элемента.

Для безъядерных пространств, толерантности основная классификационная теорема (тeopeмa 2.3.1) может быть уточнена так:

Теорема. Пусть

– безъядерное пространство толерантности, а
– множество всех есо классов толерантности. Тогда существует инъективное отображение
такое, что элементы из
толерантны в том и только том случае, когда толерантны их образы в
.

Для конечных пространств с нетривиальными ядрами можно применить тот же прием, который был уже использован для задания признаками эквивалентности. А именно, выберем в каждом ядре свою нумерацию. Сопоставим каждому элементу

конечного пространства
набор номеров
, где
– те же самые номера, что и в
3, а
– номер элемента в своем ядре. Ясно, что элемент однозначно определяется целочисленными признаками
, а толерантность пары определяется совпадением одного из признаков
.

Пусть теперь

– произвольное прострапсизо толерантности. Обозначим через
множество его ядер и определим толераниюсть ядер
и
условием:
, если существуют представители
и
, толерантные в
. Так как элементы одного ядра имеют общее множество толерантных с ними элементов, то из
, следует, что для любых
и
выполнено
. Мы получили новое пространство
. Можно убедиться, что оно будет безъядерным. Ясно Ясно также, что
равносильно
, где
и
– содержащие эти элементы ядра.

Теперь заметим, что ядра можно было бы определять не с помощью полного запаса классов, а только с помощью классов, принадлежащих некоторому базису

. Пусть
– некоторая совокупность классов из базиса
. Ядром
относительно базиса
мы назовем совокупность всех элементов из
, каждый из которых входит во все эти классы и не входит ни в какие другие классы из базиса
.

Лемма. Разиение множества

на ядра относительно базиса
совпадает с разбиением множества
на обычные ядра.

Доказательство. Буквально повторяя доказательство леммы 2.5.1, мы получим, что ядра, определенные по базису

– это классы эквивалентности по
. Значит, они совпадают с исходными ядрами.

Теорема. Если пространство толерантности

имеет конечный базис
, то совокупность всех классов толерантности в
конечна.

Доказательство. В силу леммы 2.5.2 число ядер конечно, т.е. конечно пространство ядер

. Значит,
имеет конечное число классов толераитпости. Но так как
равносильно
, то каждый класс толерантности в
есть объединение ядер, образующих соответствующий класс толерантности в
. Таким образом, совокупность всех классов толерантности в
конечна.

Обратим внимание, что ни в формулировке теоремы, ни в ее доказательстве не предполагается, что

конечно. Оно и фактически может быть бесконечным за счет бесконечности ядер.

2.6 Дальнейшее исследование структуры толерантностей