Следствие. Отношение есть эквивалентность, а непустые ядра сложат для классами эквивалентности.
Отметим очевидное включение
В случае эквивалентности классы не пересекаются и каждое ядро совпадает со своим классом толерантности:
, и, кроме того, для любого .Заметим, что при обобщении понятия эквивалентности – переходе к толерантности – понятие класса эквивалентности расщепляется на два разных понятия – класс толерантности и ядро.
2.5.2 Определение
Пространство толерантности
называется безъядерным, если каждое ядро состоит не более чем из одного элемента.Для безъядерных пространств, толерантности основная классификационная теорема (тeopeмa 2.3.1) может быть уточнена так:
Теорема. Пусть – безъядерное пространство толерантности, а – множество всех есо классов толерантности. Тогда существует инъективное отображение такое, что элементы из толерантны в том и только том случае, когда толерантны их образы в .
Для конечных пространств с нетривиальными ядрами можно применить тот же прием, который был уже использован для задания признаками эквивалентности. А именно, выберем в каждом ядре свою нумерацию. Сопоставим каждому элементу
конечного пространства набор номеров , где – те же самые номера, что и в 3, а – номер элемента в своем ядре. Ясно, что элемент однозначно определяется целочисленными признаками , а толерантность пары определяется совпадением одного из признаков .Пусть теперь
– произвольное прострапсизо толерантности. Обозначим через множество его ядер и определим толераниюсть ядер и условием: , если существуют представители и , толерантные в . Так как элементы одного ядра имеют общее множество толерантных с ними элементов, то из , следует, что для любых и выполнено . Мы получили новое пространство . Можно убедиться, что оно будет безъядерным. Ясно Ясно также, что равносильно , где и – содержащие эти элементы ядра.Теперь заметим, что ядра можно было бы определять не с помощью полного запаса классов, а только с помощью классов, принадлежащих некоторому базису
. Пусть – некоторая совокупность классов из базиса . Ядром относительно базиса мы назовем совокупность всех элементов из , каждый из которых входит во все эти классы и не входит ни в какие другие классы из базиса .Лемма. Разиение множества на ядра относительно базиса совпадает с разбиением множества на обычные ядра.
Доказательство. Буквально повторяя доказательство леммы 2.5.1, мы получим, что ядра, определенные по базису
– это классы эквивалентности по . Значит, они совпадают с исходными ядрами.Теорема. Если пространство толерантности имеет конечный базис , то совокупность всех классов толерантности в конечна.
Доказательство. В силу леммы 2.5.2 число ядер конечно, т.е. конечно пространство ядер
. Значит, имеет конечное число классов толераитпости. Но так как равносильно , то каждый класс толерантности в есть объединение ядер, образующих соответствующий класс толерантности в . Таким образом, совокупность всех классов толерантности в конечна.Обратим внимание, что ни в формулировке теоремы, ни в ее доказательстве не предполагается, что
конечно. Оно и фактически может быть бесконечным за счет бесконечности ядер.2.6 Дальнейшее исследование структуры толерантностей