Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства (стр. 16 из 20)

Рассмотрим множество

и его покрытие . Пару мы будем далее называть картой.

Произвольная карта

позволяет ввести на множестве отношение толерантности , определенное условием: , если существует такое , что одновременно и . Так определенную толерантность мы назовем толерантностью, порожденную картон . Очевидно, каждое является предклассом порожденной толерантности .

Если

– пространство толерантности и – множество всех классов толерантности в этом пространстве, то, в силу леммы 2.3.3 толерантность, порожденная картой , совпадает с исходной толерантностью . Аналогичное утверждение справедливо и для произвольного базиса в пространстве .

Карта

называется канонической, если каждый элемент покрытия оказывается классом толерантности, порожденной исходной картон . Легко видеть, что если карта является канонической, то содержит некоторый базис , порожденный толерантности: .

На рис. 1 изображена некоторая карта

, а справа система классов порожденной толерантности (впрочем, в данном случае эта система состоит из одного класса). Этот пример показывает, в частности, существование неканонических карт.

Каждая карта

естественным образом приводит к всюду определенному соответствию

которое каждому элементу

сопоставляет все те , для которых . Наоборот, если дано некоторое всюду определенное соответствие , то оно порождает покрытие множества , состоящее из прообразов элементов из при соответствии . Таким образом, тогда и только тогда, когда существует такое , что есть множество элементов из , которым соответствие сопоставляет . Обозначим для дальнейшего прообраз элемента при соответствии через .

По соответствию можно построить отображение,

которое каждому элементу

сопоставляет непустое множество элементов , для которых . С помощью отображении толерантность , порожденная исходной картой , выражается условием , если . Можно ввести еще и отношение , определяемое условием: , если . , очевидно, является эквивалентностью.

Посмотрим на примерах, как канонические признаки выражаются через исходные признаки карты. В примере на рис. 1 Имеем

.

В примере на рис. 2а, изображено соответствие:

, где , . Нa рис. 2б изображены классы порожденной толерантности. Легко проверить, что , .

На рис 3 исходная карта уже является канонической. Но если взять каноническую карту

с полным набором классов толерантности, то получим, что . Посмотрим далее, каким образом и всегда ли канонические признаки могут быть выражены через исходные.

2.6.1 Теорема

Для произвольной карты

любой класс порожденной толерантности

всегда может быть выражен через элементы покрытия

с помощью операций пересечения и объединения.

Доказательство. Рассмотрим некоторый класс толерантности

. Пусть . По определению класса, для всякого , , а по определению толераптности существует признак такой, что . Тогда 1) ; 2) . Действительно, 1) следует из того, что для всех признаков , a 2) следует из того, что всякий , принадленжащий , толерантен к . Поскольку – произвольный элемент из , по свойству максимальности класса . Отсюда вытекает, что , что доказывает теорему.