Смекни!
smekni.com

Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства (стр. 17 из 20)

Подчеркнем, что канонические признаки оправляются через исходные без перехода к дополнениям. О связи между исходными и каноническими признаками говорит также.

2.6.2 Теорема

Существует такой базис классов порожденной толерантности, что каждый из классов этого базиса содержит некоторое множество

.

Доказательство. По определению толерантности в

для всякого
любая пара
и
толерантна. Значит,
есть предкласс. Тогда по лемме 2.3.2 получается существует класс
. Выберем для каждого
один из классов
. Очевидно, выбранная совокупность классов удовлетворяет условию 1) из определения 1.4.1. Значит, она содержит некоторый базис
.

Следствие. Когда

конечно, то существует базис классов толерантности, число классов в котором не превышает количества исходных признаков.

Рассмотрим исходную карту

и полученную из нее каноническую карту
, где
– базис. Как уже было отмечено, отношения толерантности, издаваемые на множестве обьектов
обеими картами, совпадают.

Несколько иначе обстоит дело с отношением эквивалентности

, задаваемым на
с помощью определения, приведенного в начале параграфа. Пусть
– отношение эквивалентности, заданное исходным множеством признаков
, а
– отношение эквивалентности, заданное по . Как показывает пример на рис. 1, отношения
и
могут и не совпадать. В общем, случае справедлива

2.6.3 Теорема

Если выполнено соотношение:

, то выполнено и соотношение
, т.е.
.

Доказательство. Если

, то совокупности исходных признаков
и
, выполненных для
и
, совпадают. Из теоремы 2.6.1 вытекает, что для каждого класса толерантности
и
одновременно содержатся или не содержатся в нем. Таким образом,
и
имеют одинаковые наборы канонических признаков, т.е.
. Теорема доказана.

Следующая теорема, принадлежащая С.М. Якубович, дает условия того, что некоторое множество является классом толерантности, т.е. того, что некоторый признак является каноническим.

2.6.4 Теорема

Пусть имеется карта

. Для, того чтобы элемент покрытия
являлся классом порожденной толерантности
, необходимо и достаточно, чтобы для любого подмножества
, из
следоаало бы
.

Доказательство. Сначала предположим, что множество

не является классом толерантности. Так как
является предклассом, то единственная причина, по которой
может не быть классом, состоит в том, что существует
, не входящий в
и толерантный ко всем элементам
. Значит, для всякого
существует множество
, содержащее
и
. Таким образом, множества
образуют покрытие множества
. Но все
содержат элемент
, не входящий в
. Следовательно, пересечение
не содержится в
. Итак, мы доказали достаточность условия, указанною в теореме 2.6.4. Докажем теперь необходимость. Пусть существует такое подмножество
, что
, но
. Значит, существует элемент
, не входящий в
, но входящий во все
. Этот элемент толерантен ко всем
. Значит,
не является максимальным предклассом, т.е. не является классом толерантности. Теорема доказана.

Рассмотрим еще так называемые сопряженные и производные пространства толерантности.

Пусть

– произвольное пространство толерантности, и пусть
– некоторая совокупность классов толерантности. Множество
естественным образом превращается в пространство толерантности
при помощи следующего определения:
, если
.

Определение. Если

совпадает с множеством
всех классов, то пространство
называется сопряженным к
и обозначается
(таким образом,
).