Подчеркнем, что канонические признаки оправляются через исходные без перехода к дополнениям. О связи между исходными и каноническими признаками говорит также.
2.6.2 Теорема
Существует такой базис классов порожденной толерантности, что каждый из классов этого базиса содержит некоторое множество .
Доказательство. По определению толерантности в
для всякого любая пара и толерантна. Значит, есть предкласс. Тогда по лемме 2.3.2 получается существует класс . Выберем для каждого один из классов . Очевидно, выбранная совокупность классов удовлетворяет условию 1) из определения 1.4.1. Значит, она содержит некоторый базис .Следствие. Когда
конечно, то существует базис классов толерантности, число классов в котором не превышает количества исходных признаков.Рассмотрим исходную карту
и полученную из нее каноническую карту , где – базис. Как уже было отмечено, отношения толерантности, издаваемые на множестве обьектов обеими картами, совпадают.Несколько иначе обстоит дело с отношением эквивалентности
, задаваемым на с помощью определения, приведенного в начале параграфа. Пусть – отношение эквивалентности, заданное исходным множеством признаков , а – отношение эквивалентности, заданное по . Как показывает пример на рис. 1, отношения и могут и не совпадать. В общем, случае справедлива2.6.3 Теорема
Если выполнено соотношение: , то выполнено и соотношение , т.е. .
Доказательство. Если
, то совокупности исходных признаков и , выполненных для и , совпадают. Из теоремы 2.6.1 вытекает, что для каждого класса толерантности и одновременно содержатся или не содержатся в нем. Таким образом, и имеют одинаковые наборы канонических признаков, т.е. . Теорема доказана.Следующая теорема, принадлежащая С.М. Якубович, дает условия того, что некоторое множество является классом толерантности, т.е. того, что некоторый признак является каноническим.
2.6.4 Теорема
Пусть имеется карта . Для, того чтобы элемент покрытия являлся классом порожденной толерантности , необходимо и достаточно, чтобы для любого подмножества , из следоаало бы .
Доказательство. Сначала предположим, что множество
не является классом толерантности. Так как является предклассом, то единственная причина, по которой может не быть классом, состоит в том, что существует , не входящий в и толерантный ко всем элементам . Значит, для всякого существует множество , содержащее и . Таким образом, множества образуют покрытие множества . Но все содержат элемент , не входящий в . Следовательно, пересечение не содержится в . Итак, мы доказали достаточность условия, указанною в теореме 2.6.4. Докажем теперь необходимость. Пусть существует такое подмножество , что , но . Значит, существует элемент , не входящий в , но входящий во все . Этот элемент толерантен ко всем . Значит, не является максимальным предклассом, т.е. не является классом толерантности. Теорема доказана.Рассмотрим еще так называемые сопряженные и производные пространства толерантности.
Пусть
– произвольное пространство толерантности, и пусть – некоторая совокупность классов толерантности. Множество естественным образом превращается в пространство толерантности при помощи следующего определения: , если .Определение. Если
совпадает с множеством всех классов, то пространство называется сопряженным к и обозначается (таким образом, ).