Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства (стр. 4 из 20)

1) для всякого

существует эталон : .

2) Если

, то , т.е. любой эталон есть эталон для самого себя.

3) Эталон единствен, т.е. из

и следует .

Эти три свойства можно объявить аксиомами отношения "быть эталоном". Покажем, что из них следует определение эталона с помощью разбиения. Для этого сначала по отношению

построим новое отношение , определяемое правилом: , если и имеют общий эталон. Иначе говоря, если существует такое , что и . Покажем, что есть отношение эквивалентности. Действительно, по свойству 1) у каждого есть эталон и, стало быть, . Значит, рефлексивно. Симметричность отношения очевидна. Если и , то это значит, что и имеют общий эталон, а не может иметь эталона, отличного от эталона для . Значит, .

Итак, доказано, что

есть отношение эквивалентности. Но тогда по теореме 1.2.1 существует разбиение множества на классы эквивалентных друг другу элементов – так называемые классы эквивалентности.

Очевидно, каждый класс эквивалентности

состоит из всех элементов, имеющих общий эталон . По свойству 2) и, значит, . Таким образом, отношение , определенное аксиоматически свойствами 1) – 3), всегда может быть задано разбиением с выбранными представителями (эталонами) в каждом классе.

Пусть

– сюръективное отображение множества на некоторое множество . Рассмотрим на множестве отношение "иметь общий образ" и обозначим это отношение . Иначе говоря, , если . Обозначим через множество всех элементов , имеющих данный образ , т.е. таких, что . Ясно, что , так как любой элемент из имеет образ. Далее, при разных и , , так как иначе элемент, попавший в пересечение , имел бы два разных образа: и . Поскольку сюръективно, для любого . Итак, множества образуют разбиение множества , а отношение есть эквивалентность, соответствующая этому разбиению. Последнее следует из того, что тогда и только тогда, когда и принадлежат общему, множеству .

Множество классов эквивалентности по отношению

принято обозначать (читается: фактормножество множества по отношению ). Наши рассуждения показывают, что для всякого сюръективного отображения существует отношение эквивалентности на множестве такое, что и могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие.

Наоборот, если имеется произвольное отношение эквивалентности

на , то по нему можно построить отображение , где и есть класс эквивалентности, содержащий . Легко проверить, что сюръективно и построенное по этому отображению отношение эквивалентности есть исходное отношение .

Рассмотрим частный случай, когда

и . Пусть, далее, отображение обладает тем свойством, что, при , или, как говорят в таких случаях, подмножество неподвижно при отображении . Отсюда видно, что сюръективно. Действительно, всякий есть образ по крайней мере самого : . Итак, каждому однозначно сопоставлен некоторый элемент . При этом, если сопоставлен какому-то элементу, то самому сопоставлен он же.