Замечание. Понятие когерентности имеет смысл для любых отношений
и . Но для эквивалентностей когерентность отношений и легко формулируется в терминах классов эквивалентности (лемма 1.3.3).1.3.4 Лемма
Если и рефлексивны, то
Доказательство. Если
, то, в силу , выполнено и соотношение , т.е. . Аналогично получается . Из этих двух включений следует .Теорема. Для того чтобы объединение эквивалентностей и само было отношением эквивалентности, необходимо и достаточно, чтобы
Доказательство. Пусть
– эквивалентность. По лемме 1.3.4 выполняется . Для доказательства остается доказатьПусть
. Тогда для некоторого имеем и . Следовательно, и . Значит, и доказано. Пусть теперь выполнено . Отношение симметрично. По тогда симметрично и ортношение . . По теореме 1.3.3 (см. ниже) получаем, что отношение – эквивалентность. Из вытекает, что и – эквивалентность. Теорема доказана.Условие, при котором произведение
двух отношений эквивалентности и само является эквивалентностью, было получено чешским математиком Шиком в 1954 г.Для того чтобы произведение отношений эквивалентности и было эквивалентностью, необходимо и достаточно, чтобы и коммутировали.
Доказательство. Пусть сначала
Легко проверить, что если
и – эквивалентности, то и также будут эквивалентностями.Оказывается, операция
(ее иногда называют, объединением эквивалентностей, имея в виду, что обычное объединение эквивалентностей может не быть эквивалентностью) ассоциативна, т.е. является "хорошей" алгебраической операцией.Для любых транзитивных отношений , и справедлив ассоциативный закон:
Докажем сначала две леммы.
1.3.5 Лемма
Для любых отношений ,
вытекает из
. доказывается аналогично.1.3.5 Лемма
Для любых транзитивных отношений
, , из и вытекает .Доказательство теоремы 1.3.4. Из леммы 1.3.5
Из и
Из леммы 1.3.5
Из , , леммы 1.3.5 и того, что любое отношение вида
транзитивно,Подобно тому как доказывается , доказывается
Подобно тому как мы из и вывели , из и выводится
Из и аналогично доказываемого "обратного" включения вытекает . Теорема доказана.
Нетрудно убедиться, что для любой эквивалентности
где
– диагональное отношение.