Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства (стр. 9 из 20)

Покажем теперь, что операция

не дает ничего нового:

Если

и

– эквивалентности, то

Доказательство. Заметим сначала, что, учитывая лемму 1.3.4,

Применяя транзитивное замыкание к обеим частям, ввиду свойства монотонности транзитивного замыкания имеем

Далее, применяя распределительный закон получим

Мы использовали здесь тот факт, что для рефлексивного

выполнено включение , а следовательно, . Запишем теперь выражение для транзитивного замыкания, используя :

Отсюда ясно, что

, т.е.

Сравнивая включения и получим искомое соотношение .

Отсюда вытекает следующий результат, также принадлежащий Шику:

1.3.6 Теорема

Если

и

– эквивалентности и

, то

В самом деле, по теореме 1.3.3 произведение

является эквивалентностью, а стало быть отношение совпадает со своим транзитивным замыканием . Но тогда из теоремы 1.3.5 следует .

1.4 Отношения эквивалентности на числовой прямой

Пусть задано отношение

на множестве . В случае, когда – числовая прямая, отношение отождествляется с некоторым подмножеством числовой плоскости, т.е. прямого произведения . В этом параграфе будут рассмотрены геометрические свойства множества на плоскости в случае, когда отношение есть эквивалентность.

Согласно определению 1.2.1 отношение

называется эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Каждое из этих свойств порождает некоторое геометрическое свойство множества . Координаты точки на плоскости будем обозначать .

1. Рефлексивность. Из того, что

для всех , следует, что множество содержит главную диагональ (свойство

).

2. Симметричность. Симметричность означает, что если

, то и , т.е. что множество симметрично относительно главной диагонали (свойство

).

3. Транзитивность. Транзитивность означает, что если

и , то и . Точка является четвертой вершиной прямоугольника, три вершины которого находятся в точках и . Заметим, что вершина лежит на биссектрисе координатного угла – главной диагонали координатной плоскости. Поэтому геометрически свойство транзитивности можно сформулировать следующим образом:

Множество

на плоскости определяет транзитивное отношение тогда и только тогда, когда для любого прямоугольника, одна вершина которого

лежит на главной диагонали, а две соседние с

вершины принадлежат

, вершина

, противоположная

, также принадлежит

(свойство

).

Замечание. Если отношение

является симметричным, то геометрическая формулировка транзитивности несколько упрощается. А именно:

Множество

на плоскости, симметричное относительно главной диагонали, определяет транзитивное отношение тогда и только тогда, когда для любого прямоугольника, одна вершина которого лежит на главной диагонали, а две другие принадлежат

, четвертая вершина также принадлежит

(свойство

).

Разница с предыдущим утверждением состоит в том, что вершины, принадлежащие

, не обязаны быть соседними с вершиной, лежащей на диагонали. Покажем, что для симметричного свойство , влечет . Пусть, например, вершина, лежащая на диагонали, имеет координаты и и ; покажем, что . В самом деле, в силу симметрии, вместе с имеем . Если в качестве вершины на диагонали взять теперь , а в качестве соседних с ней вершин, принадлежащих , и , то, в силу свойства получаем .

Заметим, что класс эквивалентности, содержащий точку

, есть проекция пересечения множества и прямой на ось ординат.

Сейчас мы приведем некоторые примеры множеств на плоскости, определяющих отношение эквивалентности.

1 Пример. (тривиальный). Множество

вся плоскость. Выполнение свойств , , очевидно. Все точки исходной прямой отождествляются, т.е. входят в один класс эквивалентности.