Смекни!
smekni.com

Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства (стр. 1 из 20)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

"Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства"

Гомель 2005


Введение

В обыденной речи мы часто говорим об одинаковости (о равенстве) каких-то объектов (предметов, множеств, абстрактных категорий), не заботясь о надлежащем уточнении смысла, который мы вкладываем в слово "одинаковый". В главе первой попробуем выявить и раскрыть понятие "одинаковости", определим термины "эквивалентность" и "отношение эквивалентности".

Не менее важной является ситуация, когда нам приходится устанавливать сходство объектов. Если одинаковость объектов означает их взаимозаменимость в некоторой ситуации, то сходство – это частичная взаимозаменимость, т.е. возможность взаимной замены с некоторыми (допустимыми в данной ситуации) потерями, с допустимым риском. Во второй главе попробуем раскрыть понятие "толерантности" на базе таких терминов, как "одинаковость" и "сходство" объектов.

А в третьей главе подробнее рассмотрим применение понятий отношений эквивалентности и толерантности в различных областях знаний и практики человека.


Реферат

Курсовая работа содержит: 41 страница, 3 источника, 1 приложение.

Ключевые слова: отношение эквивалентности, отношение толерантности, одинаковость, сходство, взаимозаменимость, классы эквивалентности, пространство толерантности, классы толерантности, предкласс, базис.

Объект исследования: отношения эквивалентности и толерантности.

Предмет исследования: свойства отношений эквивалентности и толерантности.

Цель работы: используя рекомендуемую литературу рассмотреть понятия отношений эквивалентности и толерантности; рассмотреть приложения этих понятий в различных областях знаний и практики человека.

Методы исследования: методы теории множеств и теории отношений.

Задачами курсовой работы являются: изучить свойства отношений эквивалентности и толерантности и их приложения в конкретных областях знаний.


1. Отношение эквивалентности

1.1 Определение и примеры

1.1.1 Определение

Систему непустых подмножеств

множества
мы будем называть разбиением этого множества, если

1)

и

2)

при
.

Сами множества

называются при этом классами данного разбиения.

1.1.2 Определение

Отношение

на множестве
называется эквивалентностью (или отношением эквивалентности), если существует разбиение
множества
такое, что соотношение
выполняется тогда и только тогда, когда
и
принадлежат некоторому общему классу
данного разбиения.

Пусть

– разбиение множества
. Определим, исходя из этого разбиения, отношение
на
:
, если
и
принадлежат некоторому общему классу
данного разбиения. Очевидно, отношение
является эквивалентностью. Назовем
отношением эквивалентности, соответствующим исходному разбиению.

Например, разбиение состоит из подмножеств множества

, содержащих ровно по одному элементу. Соответствующее отношение эквивалентности есть отношение равенства
. Наконец, если разбиение множества
состоит из одного подмножества, совпадающего с самим
, то соответствующее отношение эквивалентности есть полное отношение: любые два элемента являются эквивалентными.

Пустое отношение (на непустом множестве!) не является эквивалентностью.

Мы подошли к эквивалентности через понятие взаимозаменимости. Но что значит, что два объекта

и
взанмозамепимы в данной ситуации? Это всегда можно понимать так, что каждый из них содержит всю информацию о другом объекте, небезразличную в данной ситуации. Это утверждение означает только то, что взаимозаменимость объектов есть совпадение признаков, существенных в данной ситуации.

Например, пусть мы считаем одинаковыми автомобили, выпущенные в одной и той же серии одним и тем же заводом. Тогда, разобрав один экземпляр "Волги", мы в принципе можем составить комплект рабочих чертежей, который годится для выпуска однотипных "Волг". Однако, изучив один экземпляр "Волги", мы не можем угадать окраску кузова или характер вмятин на бампере у других односерийных экземпляров.

Когда мы выбираем из комплекта одну шахматную фигуру, то мы знаем, куда ее можно поставить в начальной позиции и как ходят, все взаимозаменяемые с ней, т.е. одноименные и одноцветные, фигуры.

Пусть теперь задано разбиение

множества
. Выберем в каждом множестве
некоторый содержащийся в нем элемент
. Этот элемент мы будем называть эталоном для всякого элемента
, входящего в то же множество
. Мы будем – по определению – полагать выполненным соотношение
. Так определенное отношение
назовем отношением "быть эталоном".

Легко видеть, что эквивалентность

, соответствующая исходному разбиению, может быть определена так:
, если
и
имеют общий эталон:
и
.

Ясно, что любое отношение эквивалентности может быть таким образом определено с помощью отношения "быть эталоном" и, наоборот, любое отношение "быть эталоном" определяет некоторую эквивалентность.

Пусть

– отношение эквивалентности, а
– такое отношение "быть эталоном", что
выполнено в том и только том случае, когда
и
имеют общий эталон
.

Иначе говоря,

равносильно существованию такого
, что
и
. Поскольку
, это означает, что
. Иначе говоря, эквивалентность можно алгебраически выразить через более простое отношение "быть эталоном". Отношение
на множестве из
элементов можно задать графом, имеющим ровно
стрелок, где
– число классов эквивалентности: каждый элемент соединяется со своим единственным эталоном. Граф, изображающий отношение эквивалентности, состоит из
полных подграфов, содержащих по
, вершин
. Таким образом, общее число ребер в этом графе равно
.