МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"
математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
"Отношения эквивалентности и толерантности и их свойства"
Гомель 2005
Введение
В обыденной речи мы часто говорим об одинаковости (о равенстве) каких-то объектов (предметов, множеств, абстрактных категорий), не заботясь о надлежащем уточнении смысла, который мы вкладываем в слово "одинаковый". В главе первой попробуем выявить и раскрыть понятие "одинаковости", определим термины "эквивалентность" и "отношение эквивалентности".
Не менее важной является ситуация, когда нам приходится устанавливать сходство объектов. Если одинаковость объектов означает их взаимозаменимость в некоторой ситуации, то сходство – это частичная взаимозаменимость, т.е. возможность взаимной замены с некоторыми (допустимыми в данной ситуации) потерями, с допустимым риском. Во второй главе попробуем раскрыть понятие "толерантности" на базе таких терминов, как "одинаковость" и "сходство" объектов.
А в третьей главе подробнее рассмотрим применение понятий отношений эквивалентности и толерантности в различных областях знаний и практики человека.
Реферат
Курсовая работа содержит: 41 страница, 3 источника, 1 приложение.
Ключевые слова: отношение эквивалентности, отношение толерантности, одинаковость, сходство, взаимозаменимость, классы эквивалентности, пространство толерантности, классы толерантности, предкласс, базис.
Объект исследования: отношения эквивалентности и толерантности.
Предмет исследования: свойства отношений эквивалентности и толерантности.
Цель работы: используя рекомендуемую литературу рассмотреть понятия отношений эквивалентности и толерантности; рассмотреть приложения этих понятий в различных областях знаний и практики человека.
Методы исследования: методы теории множеств и теории отношений.
Задачами курсовой работы являются: изучить свойства отношений эквивалентности и толерантности и их приложения в конкретных областях знаний.
1. Отношение эквивалентности
1.1 Определение и примеры
1.1.1 Определение
Систему непустых подмножеств
множества мы будем называть разбиением этого множества, если1)
и2)
при .Сами множества
называются при этом классами данного разбиения.1.1.2 Определение
Отношение
на множестве называется эквивалентностью (или отношением эквивалентности), если существует разбиение множества такое, что соотношение выполняется тогда и только тогда, когда и принадлежат некоторому общему классу данного разбиения.Пусть
– разбиение множества . Определим, исходя из этого разбиения, отношение на : , если и принадлежат некоторому общему классу данного разбиения. Очевидно, отношение является эквивалентностью. Назовем отношением эквивалентности, соответствующим исходному разбиению.Например, разбиение состоит из подмножеств множества
, содержащих ровно по одному элементу. Соответствующее отношение эквивалентности есть отношение равенства . Наконец, если разбиение множества состоит из одного подмножества, совпадающего с самим , то соответствующее отношение эквивалентности есть полное отношение: любые два элемента являются эквивалентными.Пустое отношение (на непустом множестве!) не является эквивалентностью.
Мы подошли к эквивалентности через понятие взаимозаменимости. Но что значит, что два объекта
и взанмозамепимы в данной ситуации? Это всегда можно понимать так, что каждый из них содержит всю информацию о другом объекте, небезразличную в данной ситуации. Это утверждение означает только то, что взаимозаменимость объектов есть совпадение признаков, существенных в данной ситуации.Например, пусть мы считаем одинаковыми автомобили, выпущенные в одной и той же серии одним и тем же заводом. Тогда, разобрав один экземпляр "Волги", мы в принципе можем составить комплект рабочих чертежей, который годится для выпуска однотипных "Волг". Однако, изучив один экземпляр "Волги", мы не можем угадать окраску кузова или характер вмятин на бампере у других односерийных экземпляров.
Когда мы выбираем из комплекта одну шахматную фигуру, то мы знаем, куда ее можно поставить в начальной позиции и как ходят, все взаимозаменяемые с ней, т.е. одноименные и одноцветные, фигуры.
Пусть теперь задано разбиение
множества . Выберем в каждом множестве некоторый содержащийся в нем элемент . Этот элемент мы будем называть эталоном для всякого элемента , входящего в то же множество . Мы будем – по определению – полагать выполненным соотношение . Так определенное отношение назовем отношением "быть эталоном".Легко видеть, что эквивалентность
, соответствующая исходному разбиению, может быть определена так: , если и имеют общий эталон: и .Ясно, что любое отношение эквивалентности может быть таким образом определено с помощью отношения "быть эталоном" и, наоборот, любое отношение "быть эталоном" определяет некоторую эквивалентность.
Пусть
– отношение эквивалентности, а – такое отношение "быть эталоном", что выполнено в том и только том случае, когда и имеют общий эталон .Иначе говоря,
равносильно существованию такого , что и . Поскольку , это означает, что . Иначе говоря, эквивалентность можно алгебраически выразить через более простое отношение "быть эталоном". Отношение на множестве из элементов можно задать графом, имеющим ровно стрелок, где – число классов эквивалентности: каждый элемент соединяется со своим единственным эталоном. Граф, изображающий отношение эквивалентности, состоит из полных подграфов, содержащих по , вершин . Таким образом, общее число ребер в этом графе равно .