Уравнение и функция Бесселя (стр. 5 из 6)

причем

.

Если

, то удовлетворит уравнению

на интервале (0, +∞). Подстановка

приводит к уравнению

и, следовательно,

удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных и имеем

, где ,

, где ,

откуда

,

следовательно,

, где . (22)

Пусть теперь

. Разложение по степеням начинается с члена, содержащего , разложение по степеням начинается с члена, содержащего , так как коэффициент при равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при получим

,

то есть

, (23)

откуда видно, что если

и являются разными нулями функции , то

. (23`)

Этим доказано, что при

система функций

на интервале

является ортогональной относительно веса .

Переходя к пределу при

в соотношении

и используя правило Лопиталя, получим при всяком

, (24)

следовательно, если

является нулем функции , то

. (24`)

Таким образом, при каждом

всякой непрерывной функции на , удовлетворяющей требованию

,

поставлен в соответствие ряд Фурье-Бесселя

, (25)

коэффициенты которого определяются формулами

. (25`)

Можно доказать, что система функций

на , ортогональная относительно веса , замкнутая. В частности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей его непрерывной функции .

Можно показать, что если

и непрерывная на и кусочно-гладкая на функция, то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при .

6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента

Пусть

- положительная функция и - какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений . Запись

при

означает, что найдутся такие числа

и M, что при имеем .

Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если

- положительная функция и - какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений , то запись

при

означает, что найдутся такие числа

и , что на .

Вспомогательная лемма

Если

дважды непрерывно дифференцируема на , то для функции

имеет место асимптотическое представление

при .

Докажем эту лемму. Заменяя на

, получим:

. (26)

Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя

на , найдем: