Уравнение и функция Бесселя (стр. 6 из 6)
,но, заменив на
, получим: 
.Если
положительна, убывает и стремиться к нулю при 
, то 
и 
, а следовательно, и 
есть 
при 
, поэтому 
при 
,откуда
при 
.Итак, получаем асимптотическое представление:
при . (27)Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем:
, 
.Очевидно,
дважды непрерывно дифференцируема на 
, но существуют 
и 
, поэтому становится непрерывно дифференцируема на 
. Интегрирование по частям дает: 
,где первое слагаемое правой части
есть 
при 
, а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом 
,который сходится, так как
при 
;следовательно, второе слагаемое есть тоже
при .Итак, имеем:
при . (28)Из (26), (27), (28) получаем искомое асимптотическое представление:
при . (29)Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще:
при 
. (29`)Формулы (29) и (29`) верны и для комплекснозначных функций
.Вывод асимптотической формулы для Jn(x)
Заменяя
на 
, получим: 
(учитывая, что
есть четная функция от , а 
есть нечетная функция от ). Подстановка 
дает: 
,где
есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что 
есть полином n-й степени относительно 
. Но 
и, заменяя в первом из этих интегралов
на 
, получим: 
Так как
и 
на 
имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем: 
;но
; 
, следовательно, 
.Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента:
при 
. (30)Эта формула показывает, что
с точностью до слагаемого порядка 
является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы.В частности,
при 
; (30`) 
при . (30``)Графики этих функций изображены ни рисунках 1 и 2.
Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя.
1. Найти решение уравнения Бесселя при
,удовлетворяющее начальным условиям при
, 
и 
.Решение.
На основании формулы (5`) находим одно частное решение:
.2. Найти одно из решений уравнения:
, 
.Решение.
Сделаем замену
.При
получим: 
.При
будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда: 
.Уравнение на
имеет вид 
; 
, 
, 
, 
, поэтому 
, 
, 
. 
Рисунок 1 – График функции y=J0(x)
Рисунок 2 – График функции y=J1(x)
Список литературы
1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1985г., 560 стр.
2. Романовский П. И. «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.