Квадратные корни (стр. 2 из 5)

Поскольку

и являются приближенными значениями для по избытку и по недостатку, то в качестве лучшего приближения для естественно выбрать среднее арифметическое этих чисел, т.е. число х2 = . А чтобы получить еще более точное значение для , надо взять среднее арифметическое чисел , т.е. число х3 = . Так вычисляются одно за другим все лучшие и лучшие приближенные значения для . Приближения ведут до тех пор, пока два полученных значения не совпадут в пределах заданной точности. Можно доказать, что каждое приближение примерно удваивает число верных десятичных знаков.

Пример 1. Уточним по формуле х2 =

приближение

х1 = 1,414 для

.

Решение.

В нашем случае а=2. Поэтому

х1 =

(1,414 + 1,4144271) + 1,4142135…

Выполнив еще одно приближение, мы убедимся, что все выписанные знаки полученного ответа верны, т.е. число верных знаков удвоилось.

Пример 2. Найдем приближенное значение для

с точностью до 0,0001.

Решение.

Выберем за первое приближение для

число 2. Тогда второе приближение вычисляется так:

х2 =

= 2,25

Далее имеем

х3 =

= 2,2361,

х4=

=2,2361.

Значит, с точностью до 0,0001 имеем

=2,2361.

Ответ:

3. Геометрические приложения

К извлечению квадратных корней сводятся многие геометрические задачи. Например, в курсе геометрии доказывают теорему Пифагора: квадрат длины гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов длин катетов этого треугольника. Индийцы две тысячи лет тому назад доказывали ее с помощью следующего чертежа.

Рис. 1

Видим, что площади заштрихованных фигур в обоих квадратах равны, но в одном случае площадь равна

, а в другом – . Значит, .

Из теоремы Пифагора следует, что расстояние между точками

М (х1; у1) и N (x2; y2) координатной плоскости (рис. 2) выражается формулой

MN=

(1)

Пример 1. Найдем расстояние от вершины дерева до конца его тени, если высота дерева равна 12 м, а длина тени – 16 м.

Решение. По теореме Пифагора имеем

Так как

, т.е. расстояние равно 20 м.

Пример 2. Найдем расстояние между точками М (3; 1) и N (8; -11) координатной плоскости.

Решение.

По формуле (1) имеем MN =

= =13

4. Основные тождества для квадратных корней

Из определения квадратного корня вытекает, что равенство

=х, где а 0, верно в том и только в том случае, когда х²=а, причем х 0. Заменяя в равенстве х²=а переменную х на , получаем тождество ²=а, (1)

верное для всех а

0. Заменяя в равенстве =х переменную а на х², получаем тождества

= х, (2)

которое верно для всех х

0.

Например,

² = 25; ² = 8; ² = 0,11; = 6; =0,24.

Формулы

и показывают, что для неотрицательных чисел операции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня взаимно обратны, т.е. если выполнить над каким-нибудь неотрицательным числом сначала одну из этих операций, а потом другую, то число не изменится.

Если а – отрицательное число, то равенство

неверно, так как не имеет числового значения. При отрицательных значениях х неверно и равенство . Например, ² = =5, а не –5. Так как х² = ², а при х < 0 имеем – х> 0,

то при х< 0 верно равенство

= ² = – х (3)

Итак,

x, если х 0,

= – х, если х < 0.

Но мы знаем, что х, если х

0,

=

– х, если х < 0.

Поэтому для всех чисел х верно равенство

= . (4)

Например,

=

=8, ² = = 12.

Пример 1. Упростим выражение

+ ² + - ².