Квадратные корни (стр. 3 из 5)

Р е ш е н и е. Так как

² = 3, ² = 2, то + ² + - ² = ² +

2

+ ² + ² – 2 + ² =2 ² + 2 ² = 2 3 + 2 2 = =10.

Пример 2. Найдем значения выражения

при а = 2,1; b = 3,6

Решение. При любом значении х выполняется равенство

= . Поэтому = . Но = = 1,5. Значит, при а = 2,1; b =3,6 имеем =1,5.

5. Извлечение квадратного корня из произведения, дроби и степени

Выражения

и имеют одно и то же значение 6.

В самом деле,

= 3, = 2, = 6, поэтому = 3 2 = 6 и = = = 6. Равенство = – часный случай общего утверждения.

Теорема 1. Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел, т.е. при а

0, b

0 имеем

=

Доказательство.

Пусть числа а и b неотрицательны.

Тогда по правилу возведения в степень имеем

² = = а b

Кроме того,

– неотрицательное число как произведение двух неотрицательных чисел и . Поэтому =

Пример 1. Найдем значения выражения

Решение.

Мы имеем

= 25, = 16, = 0,01,

и потому

= 25 16 0,01= 4.

Аналогично доказывается, что

=

Теорема 2. Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя, т.е. при а

0 и b > 0 имеем

Теорема 3. При любом значении а и при любом b

0 верно равенство

6. Преобразование выражений

При преобразовании выражении, содержащих квадратные корни, оказывается полезной следующая формула:

= ,

где А²

В (в обеих частях равенства одновременно берутся знаки «плюс» и «минус «). Чтобы доказать это равенство, заметим, во-первых, что и левая, и правая его части являются при А 0, В 0, А² – В 0 неотрицательными числами. Возведем теперь обе части равенства в квадрат. В левой части имеем А , в правой части по формуле квадрата суммы или разности получаем

2 + =