Квадратные корни (стр. 4 из 5)
= А
2 
= А 2 
== А
2 
= А 2 
= А 
.Таким образом, квадраты обеих частей равенства
оказались одинаковыми, а поскольку эти части – неотрицательные числа, то равенство доказано.Пример 1. Упростить выражение
.1-й способ. В одном случае имеем А = 5, В = 21, А2 – В =
= 52 – 21 = 4, и поэтому по формуле
= 
– 
= 
– 
. 2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату:
5 –
= 
= 
==
= 
= 
.Поэтому
= 
= 
Пример 2. Упростить выражение
1-й способ:
= 
+ 
==
+ 
= 
2-й способ. Приведем подкоренное выражение к полному квадрату: 
Пример 3. Упростить выражение
Решение.
Ответ: 10.
Пример 4. Упростить
Решение.
1.
2.
3.
Ответ:
Пример 5. Какое из чисел больше:
или 
?Решение.
Очевидно, что
Оценим сумму
Так как
, а 
, то 
Ответ:
7. Алгоритм извлечения квадратного корня столбиком
Этот способ позволяет найти приближённое значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью.
Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пусть извлекается корень из целого числа A. В отличие от деления снос производится группами по две цифры, причём группы следует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописывая необходимым количеством нулей.
Найти an, квадрат которого наиболее близко подходит к группе старших разрядов числа A, оставаясь меньше последнего.
Провести вычитание из старших разрядов A квадрата числа an.
Удвоить an.
Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2an – на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение / деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.
Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A.
Сравнить полученное число с нулём.
Если полученное число не равно 0, то найти такое 2an − 1, которое, будучи умноженным на
, даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п. 3.Если в п. 6 получено равенство, то перейти к п. 4, предварительно приписав справа от an нуль.
После получения количества цифр, равного
, прекратить вычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимой точности, записывая получающиеся цифры после запятой.Описанная последовательность действий в математике получила название алгоритма извлечения квадратного корня.
1. Чтобы извлечь квадратный корень из данного целого числа, разбивают его справа налево на грани, по две цифры в каждой, кроме первой (крайней левой), в которой может быть и одна цифра.
2. Чтобы найти первую цифру корня, извлекают квадратный корень из первой грани.
3. Чтобы найти вторую цифру, из первой грани вычитают квадрат первой цифры корня, к остатку сносят вторую грань и число десятков получившегося числа делят на удвоенную первую цифру корня; полученное целое число снова подвергают испытанию.
4. Испытание проводится так: за вертикальной чертой (слева от остатка) пишут удвоенное, ранее найденное число корня, и к нему с правой стороны приписывают испытуемую цифру; получившееся после этой приписки число умножают на испытуемую цифру. Если после умножения получится число, больше остатка, то испытуемая цифра не годится и надо испытать следующую меньшую цифру.
5. Следующие цифры корня находят с помощью того же приёма.
6. Если после снесения грани число десятков получившегося числа окажется меньше делителя, т.е. меньше удвоенной найденной части корня, то в корне ставят 0, сносят следующую грань и продолжают действие дальше.
Пример. Извлечём корень
.1-й шаг. Число 8649 разбиваем на грани справа налево; каждая из которых должна содержать две цифры. Получаем две грани:
.2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 86, получаем
с недостатком. Цифра 9 – это первая цифра корня.3-й шаг. Число 9 возводим в квадрат (92 = 81) и число 81 вычитаем из первой грани, получаем 86 – 81 = 5. Число 5 – первый остаток.
4-й шаг. К остатку 5 приписываем вторую грань 49, получаем число 549.
5-й шаг. Удваиваем первую цифру корня 9 и, записывая слева, получаем: