Квадратные корни (стр. 1 из 5)

Квадратные корни

Введение

В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать с квадратными корнями. Поэтому важно знать правила действий с квадратными корнями и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Цель – изучение правил действий с квадратными корнями и способов преобразования выражений с квадратными корнями.

Мы знаем, что некоторые рациональные числа выражаются бесконечными периодическими десятичными дробями, как, например, число 1/1998=0,000500500500… Но ничто не мешает вообразить и число, в десятичном разложении которого не обнаружится никакого периода. Такие числа называются иррациональными.

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н. э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Диагональ разбивает квадрат на 2 одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна

. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью покажет 1,414213562373. А с помощью современного мощного компьютера можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколько бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры, ни обнаружить в них какой-либо период.

И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т.е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число

– нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, добавим мы, десятичное разложение числа не обнаруживает никакой регулярной закономерности.

По следам открытия пифагорейцев

Как доказать, что число

иррационально? Предположим, существует рациональное число m/n= . Дробь m/n будем считать несократимой, ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимой. Возведя обе части равенства, получим . Отсюда заключаем, что m – число четное, то есть m=2К. Поэтому и, следовательно, , или . Но тогда получим что и n четное число, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие.

Остается сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного

не существует.

1. Квадратный корень из числа

Зная время t, можно найти путь при свободном падении по формуле:

Решим обратную задачу.

Задача. Сколько секунд будет падать камень, сброшенный с высоты 122,5 м?

Чтобы найти ответ, нужно решить уравнение

Из него находим, что Теперь осталось найти такое положительное число t, что его квадрат равняется 25. Этим числом является 5, так как Значит, камень будет падать 5 с.

Искать положительное число по его квадрату приходится и при решении других задач, например при отыскании длины стороны квадрата по его площади. Введем следующее определение.

Определение. Неотрицательное число, квадрат которого равен неотрицательному числу а, называется квадратным корнем из а. Это число обозначают

Таким образом

Пример. Так как

Из отрицательных чисел нельзя извлекать квадратные корни, так как квадрат любого числа или положителен, или равен нулю. Например, выражение

не имеет числового значения.

В записи

знак называют знаком радикала (от латинского «радикс» – корень), а число а – подкоренным числом. Например, в записи подкоренное число равно 25. Так как Это означает, что квадратный корень из числа, записанного единицей и 2n нулями, равен числу, записываемому единицей и n нулями:

= 10…0

2n нулей n нулей

Аналогично доказывается, что

2n нулей n нулей

Например,

2. Вычисление квадратных корней

Мы знаем, что не существует рационального числа, квадрат которого равен 2. Это означает, что

не может быть рациональным числом. Он является иррациональным числом, т.е. записывается в виде непериодической бесконечной десятичной дроби, причем первые десятичные знаки этой дроби имеют вид 1,414… Чтобы найти следующий десятичный знак, надо взять число 1.414х, где х может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, возвести по порядку эти числа в квадрат и найти такое значение х, при котором квадрат меньше, чем 2, но следующий за ним квадрат больше, чем 2. Таким значением является х=2. Далее повторяем то же самое с числами вида 1,4142х. Продолжая этот процесс, получаем одну за другой цифры бесконечной десятичной дроби, равной .

Аналогично доказывается существование квадратного корня из любого положительного действительного числа. Разумеется, последовательное возведение в квадрат весьма трудоемкое занятие, и потому существуют способы быстрее находить десятичные знаки квадратного корня. С помощью микрокалькулятора можно найти значение

с восемью верными цифрами. Для этого достаточно ввести в микрокалькулятор число а>0 и нажать клавишу – на экране высветится 8 цифр значения . В некоторых случаях приходится использовать свойства квадратных корней, которые мы укажем ниже.

Если точность, даваемая микрокалькулятором, недостаточна, можно воспользоваться способом уточнения значения корня, даваемым следующей теоремой.

Теорема. Если а – положительное число и

– приближенное значение для

по избытку, то

– приближенное значение для

по недостатку.

Доказательство.

По условию x₁>

и потому х₁² >a,

<1. Но ² = = a . Т.к. <1, то a <a. Значит, а и - приближенное значение для по недостатку.

Аналогично доказывается, что если

– приближенное значение для по недостатку, то – приближенное значение по избытку.