Пошукова робота на тему:
Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса.
План
12.11. Лінійна однорідна система диференціальних
рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами
Лінійна система диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами має такий вигляд:
(12.59)
Така система називається неоднорідною системою. Відповідна їй однорідна система лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами має вигляд
(12.60)
Для запису нормальної системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами зручно користуватися матричними позначеннями.
Позначимо ,
.
Тоді
,
і система (12.59) в матричних позначеннях набуває форми
(12.61)
Відповідна їй однорідна система має вигляд
(12.62)
Користуючись методом виключення, переходимо від системи рівнянь першого порядку до одного диференціального рівняння вищого порядку. Виявляється, що лінійне рівняння -го порядку завжди можна звести до системи рівнянь першого порядку. Нехай наприклад , диференціальне рівняння -го порядку дано у вигляді
. (12.63)
Введемо такі позначення:
.
Тоді з рівняння (12.103) випливає, що
.
Рівняння (12.103) можна подати у вигляді
,
де ,, - матриця розміру виду
Приклад . Записати диференціальне рівняння
у вигляді системи.
Введемо позначення: , , .
Тоді в силу умови маємо: . Рівняння зводиться до системи вигляду
Розглянемо однорідну систему диференціальних рівнянь (12.60), де коефіцієнти - сталі числа. Систему (12.60) можна звести до диференціального рівняння -го порядку з сталими коефіцієнтами. Але це робити не обов’язково. Є загальний метод розв’язування системи (12.60), який дозволяє наочніше досліджувати її розв’язки .
Ейлер запропонував шукати розв’язок системи (12.60) у вигляді
(12.64)
де - поки що невідомі сталі. Підставляючи в систему (12.60) рівності (12.64) та їх похідні й скоротивши на отримаємо
(12.65)
Зауважимо, що (12.65) - однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно
Головний визначник системи
.
З лінійної алгебри відомо, що у випадку, коли , система (12.65) має лише єдиний тривіальний (тобто нульовий) розв’язок.
Нетривіальні (ненульові) розв’язки існують лише тоді, коли .
Прирівняємо до нуля :
(12.66)
Рівняння (12.66) називається характеристичним рівнянням системи (12.60), а його корені - коренями характеристичного рівняння.
Можливі такі випадки.
1. Корені характеристичного рівняння - дійсні й різні числа. Позначимо їх через . Для кожного кореня запишемо систему (12.65) і розв’яжемо її (можна довести, що одне з чисел можна вибрати довільним відмінним від нуля , а інші будуть через нього однозначно виражені).
Отже кореню відповідають розв’язки
кореню - розв’язки
кореню - розв’язки
Тоді загальний розв’язок системи рівнянь (12.60) записується як лінійна комбінація (за стовпчиками) знайдених розв’язків:
;
За допомогою матричних позначень розв’язок системи подають у вигляді
=
або
(12.67)
де
називається фундаментальною матрицею системи (12.60).
Фундаментальна матриця задовольняє матричне рівняння Це випливає із рівняння (12.62) та правил множення матриць.
Приклад 5 . Розв’язати систему
Р о з в ‘ я з о к. Складемо характеристичне рівняння (12.66)
або
Розв’язки цього рівняння Система (12.65) при
Друге рівняння цієї системи є наслідком першого . Покладемо, наприклад, Тоді маємо Тому
Система (12.65) у разі, коли набуває вигляду
Ця система зводиться до одного рівняння. Поклавши, наприклад, дістанемо Запишемо розв’язки, що відповідають другому кореню
Тоді загальний розв’язок системи має вигляд
2. Корені характеристичного рівняння різні, але серед них є комплексні.
Нехай парі комплексних спряжених коренів відповідають розв’язки
,…,
та
причому коефіцієнти та визначаються із системи рівнянь(12.65). Можна довести , що дійсні й уявні частини цих розв’язків також є розв’язками системи рівнянь. Записавши окремо дійсні й уявні частини даних виразів (в двох рядках), використовуємо їх для запису загального розв’язку системи аналогічно тому, як це було зроблено вище (складаємо лінійну комбінацію з коефіцієнтамипо стовпчиках). Зауважимо, що вирази () комплексно спряжені відносно функцій ( ); їх можна не виписувати.
Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь
Р о з в ‘ я з о к. Складемо характеристичне рівняння
або Його корені
При відносно та отримаємо систему
Один з її ненульових розв’язків
При розв’язок комплексно спряжений відносно знайденого.
Тому систему при можна не розглядати. Знайдемо розв’язки вигляду ()
,
Виконуємо елементарні перетворення:
(формула Ейлера).
Дійсні частини розв’язків а уявні частини - Отже , загальним розв’язком системи буде
3. Корінь характеристичного рівняння має кратність .
Тоді:
а) якщо ранг системи (12.65) такий, що то розв’язуємо цю систему й знаходимо лінійно незалежних розв’язків; кожному такому розв’язкові відповідає стрічка розв’язків вихідної системи, аналогічно тому, як це було зроблено в п.1;
б) якщо то функції …., слід шукати у виглядів добутків виду де многочлен з невизначеними коефіцієнтами, порядок якого дорівнює Щоб знайти ці коефіцієнти, розв’язки підставляють у вихідну систему. Зауважимо , що невизначені коефіцієнти будуть знаходитися з системи алгебраїчних рівнянь, у якій рівно змінних вільні , а інші змінні через них виражаються.
Приклад 7. Розв’язати систему рівнянь
Р о з в ‘ я з о к. Як звичайно, функції та шукаємо у вигляді :
Характеристичне рівняння системи
або
Розклавши вираз зліва на множники, отримаємо Отже, простий корінь, а кратний корінь , причому
При система (12.65) матиме вигляд
Ранг цієї системи дорівнює двом, а тому зведемо її до такої рівносильної системи
Поклавши, знайдемо: Отже, кореню відповідають розв’язки
При () ранг матриці системи (12.65) дорівнює одиниці:
Отже , і (маємо випадок 3а). Система (12.65) зводиться до одного рівняння або (вільні змінні ).
Щоб знайти лінійно незалежні розв’язки, покладемо спочатку Тоді Далі покладемо Тоді Це дозволяє записати ще два рядки розв’язків: і
Склавши лінійну комбінацію одержаних розв’язків ( за стовпчиками) , отримаємо шуканий загальний розв’язок системи
Зауваження. Аналогічно розв’язуються системи лінійних диференціальних рівнянь вищих порядків з постійними коефіцієнтами. Такі рівняння виникають, наприклад, при дослідженні коливань конструкції літака , в теорії електричних кіл, квантовій механіці тощо.
12.12. Лінійна неоднорідна система диференціальних
рівнянь із сталими коефіцієнтами
Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами в матричній формі має вигляд (12.61)
де причому неперервні на функції, , постійні числа.
Загальний розв’язок неоднорідної системи (12.61) дорівнює сумі загального розв’язку однорідної системи (12.62) і частинного розв’язку неоднорідної системи
(12.68)
Доведення цього твердження аналогічне доведенню для лінійного диференціального рівняння - го порядку.
Метод знаходження загального розв’язку однорідної системи розглядався в п.12.11.
Нехай загальний розв’язок системи (12.62). Тоді частинний розв’язок неоднорідної системи (12.61) будемо шукати за методом варіації довільних сталих
(12.69)
Диференціюючи рівність (12.118), одержимо
Підставляємо даний вираз в рівняння (12.61)
Але фундаментальна матриця задовольняє однорідне рівняння тому і ми одержимо рівняння
з якого знаходимо
Інтегруючи останню рівність, будемо мати
(12.70)