Теорема Дирихле (стр. 3 из 4)

Члены ряда (2.6) являются аналитическими функциями в области ReS >s, что следует из равенств

При этом использовано, что на полуинтервале n£х< n+1 функция S(х) принимает значение S(n). Поскольку

то ряд (2.6) равномерно сходится в области ReS >s. Отсюда, как и выше, получаем, что сумма его, т.е.

является аналитической функцией (по теореме Вейерштраса) в области ReS >s.

Из представления (2.5) следует теперь, что L (S, x) есть аналитическая функция в полуплоскости ReS >s, а ввиду произвольности S – s и b полуплоскости ReS > 0.

Следствие. Пусть c (n) – произвольный характер. Тогда в области ReS > 1 справедливо равенство

(2.7)

Это следует из того, что ряд (2.1) по доказанному равномерию сходится в области ReS>1+s, где s>0. Следовательно, по теореме Вейштрасса о равномерно сходящихся рядах аналитических функций в этой области ряд (2.1) можно почленно дифференцировать

Поэтому в полуплоскости ReS>1+s выполняется равенство (2.7). Так как в этом рассуждении s-любое положительное число, то равенство (2.7) будет справедливо в полуплоскости ReS>1.

Для L-функций имеет место представление в виде бесконечного произведения по простым числам, аналогичное тождеству Эйлера. Рассмотрим вспомогательную Лемму.

Лемма 5. Пусть функция f(n) вполне мультипликативна и ряд

(2.8)

абсолютно сходится. Тогда выполняется равенство

(2.9)

Доказательство. Отметим прежде всего, что /f(n)/<1 при любом натуральном n>1. В противном случае при каждом mÎN

/f(n)^m/=/f(n)/^m³1,

что противоречит сходимости ряда (2.6). Поэтому при каждом простом р ряд

абсолютно сходится, и его сумма как сумма бесконечно убивающей геометрической прогрессии равна (1-f(р))^-1. Кроме этого, в силу абсолютной сходимости, ряды можно перемножить. Перемножая конечное число таких рядов и используя то, что f(n) есть вполне мультипликативная функция, получим

где n_e= p^a … p^as и в сумме в правой части равенства содержатся такие и только такие слагаемые f(n_e), что все просты делители n_eне превосходят х. Следовательно, в разности

остаются те и только те слагаемые f(m_e), для которых у числа m_e имеется хотя бы один простой делитель р>x. Тогда оценим разность

/S-S(x)/£

и из абсолютной сходимости ряда (2.8) следует, что

Это доказывает, что бесконечное произведение (2.7) сходится и выполняется утверждение Леммы.

Лемма 6. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо представление

Доказательство. Эта лемма является следствием Леммы 5, поскольку функция c(n) вполне мультипликативна, то есть c(АВ)= c(А) c(В), и выполняется неравенство /c(n)/£ 1 по теореме 1.

Следствие 1. В области ReS > 1 для главного характера c₁(n) по модулю m справедливо равенство

(2.10)

и поэтому функция L (S, c₁) может быть аналитически продолжена в область ReS> 0, где она имеет единственный полюс (первого порядка) в точке S=1.

Действительно, по определению главного характера c₁(n) имеет место равенство

Поэтому

Пользуясь теперь тождеством Эйлера для дзета-функции Римана получаем равенство (2.10). Остальные утверждения легко следуют из этого равенства, поскольку дзета-функция является аналитической в области ReS > 0 с единственным полюсом первого порядка в точке S = 1.

Следствие 2. Для каждого характера c функция L (S, x) не обращается в нуль в области ReS > 1.

Доказательство.

Если s = ReS > 1. то

Пользуясь неравенством для дзета-функции Римана, находим

Получаем:

L(S,c) ≥

> 0

Теперь докажем утверждения, что L – функция, соответствующая неглавному характеру c, точке S =1 отлична от нуля.

Теорема 2. Если c – неглавный характер, то L(1, c)≠0

Для доказательства рассмотрим 2 случая

1. Пусть характер c – комплексное число, не является действительным. Тогда характер c²(n) не является главным. В этом случае доказательство теоремы будет основываться на тех же идеях, что и доказательство отсутствия нулей дзета – функции на прямой ReS=1.

Лемма7. Пусть 0<ч<1, а х – действительное число, тогда выполняется неравенство /(1 – ч)³ (1 – че^ix)⁴ (1 – че^2ix)/^-1 ≥ 1

Доказательство.

Для всех z из круга /z/<1 имеет место расположение

– ln (1 – z) =

(2.11)

Так как ln(t) = Relnt, то обозначая М (ч φ), левую часть неравенства (2.11), получим

lnM(ч φ) = 3ln(1 – ч) – 4 ln (1 – чеⁱ⁴) – ln (1 – че²ⁱ⁴) = – 3ln(1-ч) – 4Reln/1 – чеⁱ⁴/ – Reln/1 – че²ⁱ⁴/=

rc(3+4e)^inl/1-reⁱ⁴/= (3+4cosnl+2cos2nl)= (2+4cosa+1+cos2a)= 1 (1+cosa)²³0

ln=M(r, l)=³0

Следовательно, M(r, l)=³1 доказана.

Из леммы 7 следует, сто при любом действительном S>1 выполняется равенство:

|L³(8,c₁) L⁴(S,c) 4 (S,c⁴) 1 = П (1-

)³(1- )⁴(1- )|^-1 (2.12)

Получая в лемме ч = р^-s, т.е.

0< ч = c₁(р)<1

0< р^-s<1

c (р) р^-s = чеⁱ⁴, в силу того что c (р) – комплексное

c (р) р^-s= че²ⁱ⁴

Получаем, что каждый сомножитель в правой части равенства (f) не меньше 1 и, следовательно, при любом S>1 выполняется равенство:

|L³(Sc₁) · L⁴(Sc) L(Sc²)| ≥ 1 (2.13)

Допустим, что для некоторого характера c (c²≠c₁) выполняется равенство

L (1, c) = 0 (2.14)

Оценим сверху левую часть неравенства. Из оценки дзета-функции Римана

ξ(S) ≤

, следует, что при S € R, S>1 выполняется неравенство

а) 0 < 4 (S, c₁) =

получили 0<L(S, c₁)≤

б) Функция L(S, c) разложим в ряд Тейлора

L (S, c) = C_p + C₁ (S – 1) + C₂(S – 1)² +… + C_n(S – 1)ⁿ +…

Предположим, что у нее есть нуль L(1, c) = 1; тогда С₀ = 0

Перепишем разложение L – функции в ряд

L(S^c) = C_к (S – 1)^к + С_к+1(S – 1)^к+1 = (S – 1)¹ (C_к + С_к+1(S -1)+….), гдек≥1, С_к ≤ 0, т. к. S>1

| L (S, c)| = |S – 1|^k| C_k + C_k+1(S – 1) +….| ≤ 2 C_k|S – 1)^k, при |S – | < r

Функция L (S, c²) в точке S = 1 не имеет полюса, следовательно не имеет особенности. Это в силу того, что c комплексное и c²≠c₁

Получаем неравенство:

L(S, c²) ≤ C,

При условии | S – 1|< δ

Учитывая все неравенства и оценки

| L³ (S, c) L⁴(S, c) L (S, c²)| = (

)³ · 2⁴ |C_k|⁴ (S – 1)^4k· C≥1

Следовательно, это неравенство становится противоречивым, если перейти к пределу при S→1+0. Полученное противоречие показывает, что равенство (2.14) не выполняется.

2. Рассмотрим c – вещественный характер, т.е. принимающий только вещественные значения, несовпадающий с главным характером

Лемма 8. Пусть c – вещественный характер.

Рассмотрим функцию

F(S) = ξ(S) L(S, x) (2.15)

Докажем, что если ReS>1, то

(2.16)

представляется рядом Дирихле, которого справедливы следующие утверждения:

1) Все коэффициенты а_n≥ 0

2) при n=k², k € / N(N)/ а_n≥1

3) В области ReS<1 можно почленно дифференцировать, то есть