Теорема Дирихле (стр. 4 из 4)
F(k) (S)=
(-1)k(lnn)k 
k=1,2…; (2.17)4) Ряд (1) в точке S=1/2 расходится.
Доказательство. В области ReS > 1 ряды, определяющие функции S(S) и L(S,c), абсолютно сходятся, поэтому их можно перемножить:
где
(2.19)Пусть
- расположение числа n в произведение простых сомножителей. Тогда все натуральные делители l числа n имеют вид 
поэтому из равенства (14) находим, что
гдеani = 1+ c (pi)+ … +cLi (pi), i=1,…, m (2.21)
так как c – вещественный характер, то он может принимать только три значения: 0, 1, -1. Из равенства (2.21) следует, что
(2.22)Во всех случаях числа ani³0, а значит, и an=an1 … anm³0
Если же число п является полным квадратом, то
N=k2=p/2g … pm2g,
и из равенств (2.20) и (2.22) следует, что аn³1
При любом s > 0 в области ReS> 1 +s выполняется неравенство
Ряд (2.18) сходится в области ReS > 1. Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд (2.16) сходится равномерно в области ReS > 1 + s, а по теореме Вейерштрасса его можно в этой области почленно дифференцировать любое число раз. Следовательно, в области ReS > 1 +s выполняется равенство (2. 17), а в силу произвольности s оно выполняется и в области ReS > 1.
Однако ряд (39) расходится, так как по второму утверждению леммы
Ряд (2.16) при S =
имеет неотрицательные члены. Поэтому, если бы он сходился, то также сходился бы ряд 
(2.23)Следовательно, ряд (2.23) расходится. Лемма доказана.
Переходим непоредственно к доказательству второго случая теоремы. Допустим, что L (1,c) = 0. Тогда полюс дзета-функции будет компенсироваться в произведении S(S) L (S, c) нулем функции L (S, c).
Поэтому функция (2.15) F(S) будет аналитической в области ReS > 0 так как в точке S=1 у F(z) – устраненная особая точка. Следовательно, ее можно разложить в ряд Тейлора в точке S = 2:
(2. 24)радиус сходимости которого не меньше 2 R³2/
Из равенств (2.17), в частности S=2, находим
(2.25)В радиусе сходимости будет брать не все S, а только вещественные ReS=sS=sÎ(0,2). Пользуясь разложениями (18) и (19), находим
Члены двойного ряда неотрицательны, поэтому он сходится абсолютно, и в нем можно поменять порядок суммирования. Тогда
Следовательно, ряд (2.16) сходится во всех точках, s < (, 0, 2), и в точке
, а это противоречит четвертому утверждению леммы. Поэтому L(S,c)¹0/Этим завершается доказательство теоремы
По следствию 2 леммы 2 функция
является аналитической в области ReS > 1. Для дальнейшего доказательства теоремы Дирихле нам будет необходимо представление этой функции в виде ряда, аналогичного ряда (2.16).Лемма. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо равенство
(2.26) 
Доказательство.
Так как S=s+it имеет место неравенство
получаем, что ряд стоящий в правой части равенства (2.26), абсолютно сходится в области s>1. Умножим этот ряд на ряд определяющий L (S, c). Получили
Предпоследнее равенство имеет место ввиду равенства
), а последнее – по следствию из леммы 3, равенство 2.7.3. Доказательство теоремы Дирихле
Теорема. Если разность и первый член арифметической прогрессии есть взаимно простые натуральные числа, то она содержит бесконечное множество простых чисел.
Доказательство.
Рассмотрим равенство (2.26), которое справедливое по Лемме в области ReS > 1. Поскольку
(n) = 0 для всех n, не являющихся степенями простых чисел, то все отличные от нуля члены ряда в правой части (2.26) имеют вид 
где р – простое и k– натуральное числа. Ряд (2.26) абсолютно сходится, следовательно, его можно представить в виде двойного ряда) и, значит, в области ReS > 1
(3.1)Второе слагаемое в правой части этого равенства равномерно ограничено по s в области ReS³3/4. Действительно, если S=p+it, p³3/4, то
Следовательно, при S®1+0 для каждого характера c имеет место равенство
(3.2)Здесь и в дальнейшем s ® 1 + o обозначает, что S стремится к 1 по действительной оси справа.
Пусть u – некоторое натуральное число, удовлетворяющее сравнению
(3.3)Умножим обе части равенства (3.2) на c(u) и просуммируем получившиеся равенства по всем числовым характерам c. Тогда получим
(3.3)Если простое число р удовлетворяет сравнению р ºl (mod m), то pu ≠ 1 (mod m), и по теореме 1
Если же p≠l (modm), то pu≠ 1 и по той же теореме
Таким образом, равенство (3.3) можно переписать в виде
(3.4)По лемме 3 и теореме 2 для неглавного характера c функция
является аналитической в точке S = 1. Поэтому для таких характеров при S®1 + 0 имеем 
(3.5)По следствию 1 леммы 4 функция L(S, c1) имеет в точке S=1 полюс первого порядка. Значит, при S®1+0
(3/6)Учитывая равенства (3.5) и (3.6.) из равенства (26) получаем, что
Так как число u удовлетворяет сравнению (3.3), то (u, m) = 1 и c0(u)=1. Итак, при S®1+0
(3.7)Правая часть равенства а (3.7) при S®1+0 имеет бесконечный предел. Значит, сумма, стоящая в левой части этого равенства, имеет бесконечное множество слагаемых. Поэтому существует бесконечное множество простых чисел, удовлетворяющих сравнению
pºe (modm)
Теорема Дирихле доказана.