Линейные и квадратичные зависимости функция х и связанные с ними уравнения и неравенства (стр. 2 из 11)

1.2. Линейные уравнения и неравенства

Рассмотрим простейшее уравнение с двумя параметрами а и b—

линейное а

х = bи сразу же выпишем ответ:

а

х = b

Ответ:

1) если а

0, то уравнение имеет единственное решение х₀= .

2) если

, то решения заполняют всю числовую прямую

3) если

, то нет решений.

1.3 Решение линейных неравенств

Сразу же выпишем решения в виде готового правила:

1) а

х > b, если a> 0, то x>

если a < 0, то x <

если a = 0 и b < 0, то x– любое число,

если a = 0 и b

0, то решений нет.

2) а

х < b, если a> 0, то x <

если a < 0, то x >

если a = 0 и b

0, то решений нет,

если a = 0 и b>0, то x – любое число.

Всегда полезно помнить следующее основное правило:

При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется.

1.4 Квадратный трехчлен

Определение. Квадратным трехчленом называется функция

Выделение полного квадрата путем тождественных преобразований.

Иначе можно записать в виде:

Пример 1.

Пример 2.

Определение. Число

называется дискриминантом квадратного трехчлена

1.5 Корни квадратного трехчлена

Нужно найти корни уравнения

Выделив полный квадрат, получим формулу (*), откуда

Мы должны рассмотреть три случая:

1)

, тогда

В этом случае уравнение

имеет два различных корня:

2)

, тогда

в силу (*), то есть

- два совпадающих корня.

3)

,

Тогда

не имеет вещественных корней, так как

Итак, доказана теорема:

Теорема 1. Пусть имеется уравнение

если

1)

, то уравнение не имеет вещественных решений.

2)

, то уравнение имеет два равных корня

3)

, то уравнение имеет два различных корня

Замечание: если

В этом случае корни удобно находить по формуле

Теорема 2. Если а > 0, то функция

монотонно убывает для и монотонно возрастает для

Доказательство теоремы:

Пусть

(1),

где

произвольные фиксированные числа, тогда из (1) получаем

а это по (**) есть

, что требовалось доказать.

1) В этом рассуждении использовано монотонное возрастание функции

на множестве

2) Докажите, что функция

монотонно возрастает на множестве

Аналогично доказывается монотонное возрастание функции

на

Теорема 3. Если а < 0, то функция

монотонно возрастает для и монотонно убывает для

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2.

Следствие.

Если а > 0, то

для любого х

Если а < 0, то

для любого х

При а > 0

При а < 0

minи maxдостигаются при x =

.

Точка

называется вершиной параболы.

1.6 Зависимость расположения графика функций квадратного трехчлена от a, D

Определение. График квадратного трехчлена

называется параболой.

Нарисуем эскизы парабол для шести типичных и существенно различных комбинаций значений параметров a и D.

1)