1.2. Линейные уравнения и неравенства
Рассмотрим простейшее уравнение с двумя параметрами а и b—
линейное а
а
Ответ:
1) если а
2) если
3) если
1.3 Решение линейных неравенств
Сразу же выпишем решения в виде готового правила:
1) а
если a < 0, то x <
если a = 0 и b < 0, то x– любое число,
если a = 0 и b
2) а
если a < 0, то x >
если a = 0 и b
если a = 0 и b>0, то x – любое число.
Всегда полезно помнить следующее основное правило:
При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
При умножении или делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется.
1.4 Квадратный трехчлен
Определение. Квадратным трехчленом называется функция
Выделение полного квадрата путем тождественных преобразований.
Иначе можно записать в виде:
Пример 1.
Пример 2.
Определение. Число
1.5 Корни квадратного трехчлена
Нужно найти корни уравнения
Выделив полный квадрат, получим формулу (*), откуда
Мы должны рассмотреть три случая:
1)
В этом случае уравнение
2)
в силу (*), то есть
3)
Тогда
не имеет вещественных корней, так как
Итак, доказана теорема:
Теорема 1. Пусть имеется уравнение
1)
2)
3)
Замечание: если
В этом случае корни удобно находить по формуле
Теорема 2. Если а > 0, то функция
Доказательство теоремы:
Пусть
где
а это по (**) есть
1) В этом рассуждении использовано монотонное возрастание функции
2) Докажите, что функция
Аналогично доказывается монотонное возрастание функции
Теорема 3. Если а < 0, то функция
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 2.
Следствие.
Если а > 0, то
Если а < 0, то
При а > 0
При а < 0
minи maxдостигаются при x =
Точка
1.6 Зависимость расположения графика функций квадратного трехчлена от a, D
Определение. График квадратного трехчлена
Нарисуем эскизы парабол для шести типичных и существенно различных комбинаций значений параметров a и D.
|