Линейные и квадратичные зависимости функция х и связанные с ними уравнения и неравенства (стр. 3 из 11)

3)

4) )

5)

6)

1.7 Решение квадратных неравенств

Опираясь на иллюстрации, сформулируем следующее правило решения квадратных неравенств:

Неравенство	Ответ
	Нет решений (или )
	x =
	x =
	Нет решений (или )
	Нет решений (или )
	x =
	Нет решений (или )

1.8 Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

Теорема 4.

1) Если D > 0, то

2) Если D = 0, то

.

3) Если D < 0, то

нельзя разложить на линейные множители, используя в качестве коэффициентов этих линейных множителей вещественные числа.

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

.

Укажем и другие связи между корнями и коэффициентами квадратного трехчлена.

Теорема 5. (Виета)

Если

, - вещественные корни уравнения , то

Теорема 6. (Обратная теорема Виета)

Если

, удовлетворяют условиям системы:

то

, корни уравнения .

Часто встречаются задачи, в которых требуется выяснить взаимное расположение какого-либо числа и корней квадратного трехчлена на числовой оси.

Следующая теорема позволяет существенно упростить решение подобного рода задач. Отметим, что для уменьшения числа разбираемых различных случаев мы переходим к рассмотрению приведенного квадратного уравнения, которое получается после деления всех коэффициентов уравнения на старший коэффициент a.

Теорема 7.

Пусть

, - вещественные корни уравнения число.

Для того, чтобы	Необходимо и достаточно
I.
II.
III.

Место для формулы.

Докажем случай 1.

Необходимость.

Пусть

, - вещественные корни уравнения

Если

, то необходимо выполняются условия

Доказательство.

Так как по условию

то сложив (1) и (2) получим

По теореме Виета p, то есть , что и требовалось доказать.

Перемножив (1) и (2), получим

>0

Воспользовавшись теоремой Виета:

получим

, что и требовалось доказать.