Линейные и квадратичные зависимости функция х и связанные с ними уравнения и неравенства (стр. 6 из 11)
Геометрически требуемое включение
изображается следующим образом:  |
Алгебраически точки cи dдолжны находится между корнями рассматриваемой параболы, что позволяет применить теорему 7.
2)
0, тогда неравенство (1) становится линейным: 
0 (4)Геометрическая интерпретация в этом случае выглядит следующим образом (два случая):
 |
 |
Рис. 1. Рис. 2.
Алгебраически этот случай сводится к решению совокупности двух систем:
3)
0, тогда неравенство (1) после приведения принимает вид: 
Вновь дадим сначала геометрическую интерпретацию включения
(три случая):Рис. 3. Рис. 4.
 | ||
 | ||
 | ||
Рис. 5.
Алгебраически: рис. 3 – квадратный трехчлен имеет корни, расположенные правее числа d (возможно х1 = d); рис. 4 - квадратный трехчлен имеет корни, расположенные левее числа с (возможно х2 = с); рис. 5 - квадратный трехчлен не имеет корней.
Пользуясь теоремой 7 пункты I, II, выпишем вышесказанное в виде совокупности алгебраических систем:
Полный ответ задачи получается объединением ответов из случаев 1); 2); 3).
Теперь ясно, что:
Решая задачу о взаимном расположении решений квадратных неравенств с логическим высказыванием, удобно поступить следующим образом:
1) переформулировать логическое высказывание на языке теории множеств, в виде соотношений включения для множества решений неравенств.
2) получить геометрические иллюстрации, которые выясняют возможное взаимное расположение границ множеств решений – корней квадратных трехчленов.
3) выписать, используя результаты теоремы 7, совокупность алгебраических систем, которые соответствуют различным случаям геометрического расположения корней и различным случаям знака коэффициента при х2 в неравенствах.
4) собрать в окончательном ответе задачи объединение промежуточных ответов для всех рассмотренных случаев.
Применим сформулированный алгоритм, для решения следующей задачи:
II. Найти все значения параметра а, при которых неравенство:
0 (6)выполняется для всех
Решение.
1) Если А – множество решений неравенства (6), В – множество (7), то задача соответствует включению
.2) Разберем все возможные случаи знака коэффициента
, и для каждого из них приведем геометрические иллюстрации:2а)
, тогда (6) 
 | |
 | |
, тогда неравенство (6) примет вид: 
для этого случая (4 рисунка).  |
 |
Рис. 3. Рис. 4.
 |
 |
Рис. 5. Рис. 6.
На рис. 3 и рис. 5 множество А = (-
и А = 
- соответственно.На рис. 4 и рис. 6 множество А = (
и А = 
- соответственно.Ясно, что включение
возможно только в случаях рис. 3 и рис. 5.Алгебраически это соответствует:
2в)
, тогда неравенство (6) запишется в виде: 
Возможны два различных случая расположения параболы
 |  |
Рис. 7. Рис. 8.
Ясно, что в случае рис. 7 А = (-
( 
, в случае рис. 8 А = .Включение
в первом случае соответствует системе неравенств 
, во втором случае автоматически.Из пункта II теоремы 7 вытекают условия:
Окончательный ответ задачи получается объединением ответов из пунктов 2а), 2б) и 2в).
Задание: выписать самостоятельно схемы решений следующих задач:
III. Найти все значения параметра а, при которых неравенство
0выполняется для всех
IV. Найти все значения параметра а, при которых из неравенства
0.V. Найти все значения параметра а, при которых выполнение неравенства
0.VI. Найти все значения параметра а, при которых из совокупности неравенств
0.Перейдем к рассмотрению примеров из материалов вступительных экзаменов.