Линейные и квадратичные зависимости функция х и связанные с ними уравнения и неравенства (стр. 7 из 11)

1. Найти все значения параметра а, при которых из неравенства

0

следует неравенство 0 < x < 1.

Решение.

1) Обозначим символами А множество решений неравенства

0 (1) и В: 0 < x < 1. Требуется выяснить, при каких а справедливо включение

2) Рассмотрим все случаи знака коэффициента а.

2а) a

, тогда (1)

Геометрически:

Рис. 1.Рис. 2.

В этом случае множество А есть либо интервал (х₁,х₂) (рис. 1), либо А =

(рис. 2). Поэтому включение выполняется в первом случае, если корни х₁, х₂ квадратного трехчлена расположены на отрезке , а во втором случае верно всегда (ведь является подмножеством любого множества по определению).

Алгебраически рассмотренный случай записывается в виде совокупности двух систем:

Используя пункты I, II теоремы 7, получаем:

Ответ 2а)

.

2б) а = 0 , исходное неравенство (1) принимает вид:

В этом случае множество А:

не входит в множество В:

0 < x < 1.

Поэтому

Ответ 2б)

2в) a <

, тогда неравенство (1)

Геометрически:

Рис. 3. Рис. 4.

В случае рис. 3 множество А

В случае рис. 4 - А = R. В любом из этих случаев включение очевидно, невозможно. Поэтому

Ответ 2в.

Объединяя ответы из всех трех случаев, получаем:

Ответ.

.

II. Найти все значения m, для которых неравенство

0

будет выполняться при всех x> 0.

Решение.

Обозначим через А множество решений неравенства

0 (1), и через В множество x > 0.

Условию задачи соответствует включение

Рассмотрим все случаи знака коэффициента

1)

, тогда (1)

Геометрически: