В этом параграфе мы не будем делать различия между матрицей А и соответствующим ей преобразованием А в пространстве векторов
, так как базис меняться не будет.А) Система дифференциальных уравнений (1) в векторной форме переписывается в виде:
(2)Здесь
, а вместо системы неизвестных функций введен неизвестный вектор ;под производной
вектора х понимается вектор . Если h есть собственный вектор матрицы А с собственным значением т.е. еслито векторная функция х, определяемая соотношением
,является решением уравнения (2).
Последнее утверждение проверяется путем подстановки
в соотношение (2).Теорема 8. Пусть
(3)- такая система дифференциальных уравнений (см. А.)), что собственные значения
матрицы А попарно различны, и пусть- соответствующие собственные векторы этой матрицы. Положим:
(4)Тогда векторная функция
(5)где
– константы, является решением уравнения (3), и всякое решение уравнения (3) задается этой формулой.Доказательство. В силу предложения А) каждая функция
представляет собой решение уравнения (3), и потому в силу предложения А) §4 формула (5) всегда дает решение уравнения (3). Докажем теперь, что всякое решение уравнения (3) может быть записано в виде (5). Пусть - произвольное решение уравнения (3). В силу теоремы 3 решение можно считать заданным на всей бесконечной прямой . Таким образом, решение это определено и при t = 0. Положим . Пусть- разложение вектора
по векторам базиса . Тогда решение х, определяемое формулой (5), очевидно, удовлетворяет начальным условиямТем же начальным условиям
удовлетворяет и решение ; таким образом, в силу теоремы единственности (см. теорему 2), .Итак, теорема 8 доказана.
В случае, если матрица
, задающая уравнение (3), действительна, перед нами встает задача выделения из всех решений (5) действительных решений.Б) Будем считать, что матрица
, задающая уравнение (3), действительна, и выберем векторы таким образом, чтобы действительным собственным значениям соответствовали действительные векторы, а комплексно сопряженным – комплексно сопряженные. Тогда в системе решений (4) каждому действительному собственному значению будет соответствовать действительное решение, а каждым двум комплексно сопряженным собственным значениям будут соответствовать комплексно сопряженные решения. Оказывается, что решение (5) тогда и только тогда действительно, когда константы, стоящие при действительных решениях, действительны, а константы, стоящие при комплексно сопряженных решениях, сопряжены.Перейдем теперь к решению системы (1) в общем случае (матрица
может иметь кратные собственные значения). Разбор этого случая опирается на весьма нетривиальную и сложно доказуемую алгебраическую теорему о приведении матрицы к жордановой форме.В) Запишем систему (1) в векторной форме
(6)и пусть
- некоторая серия с собственным значением
относительно матрицы А, так что выполнены соотношенияВведем последовательность векторных функций, положив:
(7)Оказывается тогда, что векторные функции
(8)являются решениями уравнения (6), причем
(9)Таким образом, каждой серии из k векторов соответствует система из k решений.
Для доказательства того, что векторные функции (8) являются решениями уравнения (6), укажем два тождества относительно векторных функций (7). Тождества эти следующие:
В этих соотношениях принято
. Оба они проверяются непосредственно путем проведения элементарных вычислений. При помощи этих тождеств непосредственно проверяется, что функции (8) являются решениями уравнения (6). Действительно, мы имеем:Перейдем теперь к формулировке и доказательству теоремы, дающей решение системы (1) в общем случае.
Теорема 9. Пусть
(10)- векторная запись системы (1). Существует базис
, состоящий из серий относительно матрицы А. Для определенности будем считать, что есть серия с собственным значением ; есть серия с собственным значением ; и т.д. В силу предложения В) каждой из серий соответствует система решений, так что мы можем выписать следующие решения уравнения (10): (11)Оказывается, что формула
(12)где
– константы, всегда дает решение уравнения (10) и что каждое решение уравнения (10) описывается формулой (12).Доказательство. Так как функции
являются решениями уравнения (10) (см. В)), то в силу предложения А) §4 формула (12) всегда дает решение уравнения (10). Покажем, что всякое решение уравнения (10) при надлежащем подборе констант записывается в виде (12). Пусть - произвольное решение уравнения (10). В силу теоремы 3 решение можно считать заданным на всей прямой , и потому вектор определен. Разложим этот вектор по базису :