Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 12 из 26)

При этом функции

также представляют решение системы (1) (см. А)). Это решение и первоначальное решение (10) совпадают там, где они оба определены (теорема 2). Если объединить эти два решения, мы получим новое решение с большим интервалом существования, чем исходное, а именно, с интервалом при с>0 и при с<0. Так как и равноправны, то знак величины с можно изменить, так что решение можно продолжить, на интервал . Так как, кроме того, для продолженного решения равенство (11) по-прежнему выполнено, то к нему опять можно применить указанный способ расширения интервала существования, и потому мы можем продолжить решение (10) на всю бесконечную прямую с сохранением для него тождества (12).

Каждое число с, для которого выполнено тождество (12), будем называть периодом решения (10); множество всех периодов решения (10) обозначим через F. Множество F есть некоторое множество чисел. Установим некоторые его свойства. Заменяя в соотношении (12) t через t - с, получаем

. Таким образом, если с есть период, то — с также есть период. Допустим, что и — периоды, т. е.

Тогда

Таким образом, если

и суть периоды, то также есть период. Допустим, что есть последовательность периодов, сходящаяся к некоторому числу ; тогда мы имеем

Так как функции

непрерывны, то при мы получаем:

т.е. мы видим, что

также есть период, так что множество F замкнуто.

Так как число с в равенстве (12) отлично от нуля

, то множество F содержит числа, отличные от нуля. Из установленных свойств множества F легко выводится, что для него есть только две возможности: 1) множество F совпадает с множеством всех действительных чисел; 2) в множестве F имеется минимальное положительное число Т, и тогда F состоит из всех целочисленных кратных числа Т. Докажем, что действительно имеются только эти две возможности. Так как множество F вместе с каждым числом с содержит число – с и так как в F имеются числа, отличные от нуля, то в F имеются положительные числа.

Допустим, что в множестве F нет наименьшего положительного числа, т. е. что для произвольного положительного числа

имеется положительный период с< . Из доказанных свойств множества F следует (так как с есть период), что все числа mc, где m — целое, также являются периодами. Так как с< , то для произвольного действительного числа можно подобрать такое целое m, что . Таким образом, произвольное число является предельным для множества F, и потому, ввиду замкнутости множества F, это множество совпадает с множеством всех действительных чисел.

Допустим теперь, что F не есть множество всех действительных чисел. В силу доказанного, в F имеется тогда наименьшее положительное число Т. Пусть с — произвольный период. Можно тогда выбрать такое целое число m, что

. Допустим, что ; тогда есть отличный от нуля период, а это невозможно, так как , что противоречит минимальности числа Т. Итак, доказано, что каждое число с из F может быть записано в виде c = mТ, где m — целое число.

Теперь уже легко проверить, что если F есть множество всех действительных чисел, то имеет место случай 1), а если F не есть множество действительных чисел, то имеет место случай 2). Таким образом, предложение В) доказано.

Кратко предложение В) можно сформулировать, сказав, что имеется три сорта траекторий: 1) положение равновесия; 2) периодические траектории (циклы); 3) траектории без самопересечений. Естественно считать, что последний случай является «наиболее общим».

Из теоремы 2 следует, что через каждую точку области

задания системы (1) проходит траектория, изображающая решение системы.

Таким образом, вся область

заполнена траекториями, причем, согласно Б), траектории эти попарно не пересекаются. Среди всех траекторий особо выделяются самопересекающиеся, которые являются либо положениями равновесия, либо циклами. Эти два сорта траекторий имеют весьма важное значение.

Такова кинематическая интерпретация решений автономной системы уравнений. Сама система уравнений также допускает геометрическую интерпретацию.

Фазовые пространства

Г) Поскольку автономная система уравнений (1) определена на открытом множестве

, каждой точке множества поставлена в соответствие последовательность из n чисел, именно последовательность:

Эти числа можно рассматривать как компоненты вектора

, проведенного в n-мерном пространстве и выходящего из точки . Таким образом, автономной системе ставится в соответствие геометрический образ — векторное поле, заданное на открытом множестве . В каждой точке множества определен вектор , выходящий из этой точки. Связь между геометрической интерпретацией решений и геометрической интерпретацией самой системы уравнений заключается в следующем. Пусть - произвольная точка множества . В силу геометрической интерпретации системы уравнений этой точке поставлен в соответствие выходящий из нее вектор . Далее, в силу теоремы 2 существует решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям

В силу кинематической интерпретации решению

соответствует в пространстве движение точки, описывающее траекторию, причем в момент времени движущая точка проходит через положение в пространстве. Оказывается, что векторная скорость точки, описывающей решение , в момент ее прохождения через положение совпадает с вектором . Именно это совпадение и выражается системой уравнений (1) при