Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 13 из 26)

Пространство размерности n, в котором интерпретируются решения автономной системы (1) в виде траекторий и сама автономная система (1) в виде векторного поля, называется фазовым пространством системы (1). Траектории называются фазовыми траекториями, векторы

называются фазовыми скоростями. Связь между обеими интерпретациями заключается в том, что скорость движения точки по траектории в каждый момент времени совпадает с фазовой скоростью, заданной в том месте пространства, где в этот момент находится движущаяся точка.

Рассмотрим теперь положения равновесия с точки зрения фазовых скоростей.

Д) Для того чтобы точка

множества была положением равновесия системы (1), т. е. чтобы имелось решение системы, для которого

(13)

необходимо и достаточно, чтобы фазовая скорость

в точке была равна нулю. Таким образом, для отыскания всех положений равновесия системы (1) нужно решить систему уравнений

Эта система представляет собой не систему дифференциальных уравнений, а, как говорят, систему конечных уравнений (производные в нее не входят).

Для доказательства утверждения Д) допустим, что

есть положение равновесия, т. е. что имеется решение , для которого выполнены соотношения (13), и подставим в систему (1) это решение. Так как производная постоянной равна нулю, то подстановка дает

Таким образом, вектор

фазовой скорости действительно обращается в нуль, в точке . Допустим, что, обратно, вектор фазовой скорости обращается в нуль в точке , т. е. что и покажем, что в этом случае равенства (13) определяют решение системы (1). Подстановка дает

равенства эти выполнены, так как слева стоит производная константы, а справа — нуль.

Е) Геометрическая интерпретация решения (2) системы уравнений (1), указанная в §2, ставит в соответствие этому решению кривую К в (n + 1)-мерном пространстве переменных

, определяемую системой уравнений (2). Здесь t является одной из координат в пространстве R. Переход к интерпретации в n-мерном фазовом пространстве S переменных заключается в том, что мы перестаем считать величину t координатой точки, а считаем ее параметром. Таким образом, фазовая траектория L получается из кривой К в результате проектирования пространства R на пространство S в направлении оси t.

Геометрическую наглядность это проектирование приобретает при n = 2. В этом случае пространство R трехмерно, а пространство S представляет собой плоскость (см. пример 4).

Примеры

1. Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение

(14)

первого порядка, правая часть которого непрерывна и имеет непрерывную производную на всей прямой Р изменения переменного х. Предположим дополнительно, что нули функции f(x) или, что то же самое, положения равновесия уравнения (14), не имеют предельных точек. В этом предположении положения равновесия разбивают прямую Р на систему

интервалов. Каждый интервал (a, b) системы обладает тем свойством, что на нем функция f (x) не обращается в нуль, а каждый конец a или b его является либо нулем функции f (x), либо равен . Таким образом, система состоит из конечного или счетного числа конечных интервалов и не более чем двух полубесконечных интервалов или же содержит только один бесконечный в обе стороны интервал . Пусть (a, b) - некоторый интервал системы , - точка этого интервала и , , - непродолжаемое решение уравнения (14) с начальными значениями 0, . Допустим для определенности, что ; тогда оказывается, что

при , (15)

(16)

Далее, если число а, или соответственно b, конечно, то число

или соответственно , бесконечно. Таким образом (рис. 3), каждый интервал (a, b) представляет собой одну-единственную фазовую траекторию уравнения (14).

Докажем соотношения (15), (16). Из предположения

следует, что на интервале (a, b) функция f (x) положительна и потому каждая точка этого интервала, описывая фазовую траекторию, движется слева направо. Таким образом, при возрастающем t точка может покинуть интервал (a, b), лишь перейдя его правый конец b. Допустим, что это происходит при некотором ; тогда при имеем , а это значит, что две различные траектории и x = b пересекаются, что невозможно. Точно так же доказывается, что точка не может покинуть интервал (a,b) при убывающем t. Таким образом, соотношение (15) доказано.

Допустим теперь, что

и пусть — решение уравнения (14) с начальными значениями 0, с. Так как f (с)> 0, то при некотором отрицательном значении имеем , а это значит, что две различные траектории и пересекаются, что невозможно. Таким образом, доказано, что . Точно так же доказывается и соотношение .

Допустим, наконец, что

, и покажем, что тогда . Допустим противоположное, именно, что . Определим тогда функцию , положив при и при . Очевидно, что функция непрерывна и удовлетворяет уравнению (14), а это невозможно, так как тогда пересекаются две различные траектории и . Полученное противоречие показывает, что . Точно так же доказывается, что при имеем .