Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 15 из 26)

Пусть теперь

— некоторое решение системы (18). Ставя в соответствие каждому из чисел и циклические координаты и , мы получаем точку тора Р. Таким образом, каждое решении системы (18) может быть изображено движением точки по тору, причем закон движения в каждый момент времени определяется той точкой тора, через которую траектория в этот момент проходит. Это объясняется тем, что функции заданы на торе. Таким образом, весь тор Р оказывается покрытым траекториями, каждые две из которых либо не пересекаются либо совпадают. В частности, если траектория пересекает самое себя, то она либо замкнута, либо является положением равновесия.

Изображение, фазовых траекторий системы (18) не на плоскости, а на поверхности тора отражает специфическое свойство системы (18) (периодичность функций

) и удобно при ее изучении.

4. Каждое решение автономной системы уравнений

записывается в виде:

(19)

где r и

— константы. Система уравнений (19) определяет в трехмерном пространстве R переменных t, х, у винтовую спираль при и прямую линию (именно, ось t) при r = 0.

В фазовой плоскости S переменных х и у та же система уравнений (19) определяет окружность при

и точку (положение равновесия) при r = 0. Переход от кривых в пространстве R к кривым плоскости S осуществляется проектированием в направлении оси t на координатную плоскость ху.

5. Каждое решение неавтономной системы уравнений

записывается в виде:

(20)

где a и b — константы. Из общей теории известно (единственность решения), что в трехмерном пространстве R переменных t, х, у две кривые, определяемые системой уравнении (20), либо не пересекаются, либо совпадают. Для того, чтобы получить проекцию кривой, определяемой системой (20), на плоскость S переменных х, у, следует из системы (20) исключить t. Производя это исключение, получаем:

Это уравнение определяет на плоскости ху параболу с осью, направленной вдоль положительной полуоси х и вершиной в точке (а, b). Две такие параболы: одна с вершиной в точке

, а другая с вершиной в точке — не пересекаются лишь в случае, если . Если же , то соответствующие параболы пересекаются (в одной точке). Пересечение траекторий происходит потому, что исходная система дифференциальных уравнений неавтономна. Поэтому изображение решений на плоскости ху в случае неавтономной системы нецелесообразно.

§ 11. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами

Здесь будут построены фазовые траектории на фазовой плоскости системы

(1)

или в векторной форме

(2)

с постоянными действительными коэффициентами

. При этом нам придется разобрать, несколько различных случаев, так как фазовая картина траекторий системы существенно зависит от значении коэффициентов.

Следует заметить, что начало координат (точка (0, 0)) всегда является положением равновесия системы (1). Это положение равновесия тогда и только тогда является единственным, когда детерминант матрицы

отличен от нуля, или, что то же, оба собственных значения этой матрицы отличны от нуля.

Допустим, что собственные значения матрицы А действительны, различны и отличны от нуля. Тогда, как это следует из результатов § 9 (теорема 8) произвольное действительное решение уравнения (2) можно записать в виде:

(3)

Здесь

и — действительные линейно независимые собственные векторы матрицы А; и — его действительные собственные значения, а и — действительные константы. Решение (3) разложим по базису , положив

(4)

тогда мы будем иметь:

(5)

Координаты

на фазовой плоскости Р системы (1) вообще говоря, не являются прямоугольными, поэтому отобразим аффинно фазовую плоскость Р на вспомогательную плоскость Р* таким образом чтобы при этом векторы , перешли во взаимно ортогональные единичные векторы плоскости Р*, направленные соответственно по оси абсцисс и оси ординат (рис. 8). Точка плоскости Р перейдет при этом отображении в точку с декартовыми прямоугольными координатами в плоскости Р*. Таким образом, траектория заданная, параметрическими уравнениями (5) а плоскости Р перейдет в траекторию (которую мы также назовем фазовой), заданную теми же уравнениями в прямоугольных координатах плоскости Р*. Мы начертим сперва траектории, заданные уравнениями (5) в плоскости Р*, и затем отобразим их обратно в плоскость Р.

Рис. 8.

Наряду с фазовой траекторией (5) в плоскости Р* имеется траектория, задаваемая уравнениями

(6)

а также траектория, задаваемая уравнениями

(7)

Траектория (6) получается из траектории (5) зеркальным отражением относительно оси абсцисс, а траектория (7) — относительно оси ординат. Таким образом, указанные два зеркальных отображения оставляют картину траекторий на плоскости Р* инвариантной. Из этого видно, что если вычертить траектории в первом квадранте, то уже легко представить себе всю фазовую картину в плоскости Р*.

Отметим что при

мы получаем движение точки, описывающее положение равновесия (0, 0). При получаем движение, описывающее положительную полуось абсцисс, при получаем движение, описывающее положительную полуось ординат. Если , то движение, описывающее положительную полуось абсцисс, протекает в направлении к началу координат, если же , то движение это имеет противоположное направление от начала координат. В первом случае точка движется, неограниченно приближаясь к началу координат, во второй — неограниченно удаляясь в бесконечность. То же справедливо и относительно движения, описывающего положительную полуось ординат. Если и положительны, то движение точки протекает в первой четверти, не выходя на ее границу.

Дальнейшее, более детальное описание фазовой плоскости проведем отдельно для нескольких случаев - в зависимости от знаков чисел

.