Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 16 из 26)

А) Узел. Допустим, что оба числа

и отличны от нуля и имеют один знак, причем

(8)

Разберем сперва случай, когда

, .

При этих предположениях движение по положительной полуоси абсцисс направлено к началу координат, точно так же, как движение по положительной полуоси ординат. Далее, движение по произвольной траектории внутри первого квадранта состоит в асимптотическом приближении точки к началу координат, причем траектория при этом касается оси абсцисс в начале координат. При t, стремящемся к

, точка движется так, что абсцисса и ордината ее бесконечно возрастают, но возрастание ординаты сильнее, чем возрастание абсциссы, т. е. движение идет в направлении оси ординат. Эта фазовая картина называется устойчивом узлом (рис. 9, а). Если наряду с неравенством (8) выполнены неравенства

то траектории остаются прежними, но движение по ним направлено в противоположном направлении. Мы имеем неустойчивый узел (рис. 9, б).

а) Рис. 9. б)

Б) Седло. Допустим, что числа

и имеют противоположные знаки. Для определенности предположим, что . В этом случае движение по положительной полуоси абсцисс идет к началу координат, а движение по положительной полуоси ординат — от начала координат. Траектории, лежащие внутри первого квадранта, напоминают по своему виду гиперболы, а движения по ним происходят в направлении к началу вдоль оси абсцисс, и в направлении от начала вдоль оси ординат. Эта фазовая картина называется седлом (рис. 10).

Рисунки 9, а, б и 10 дают картину траекторий на вспомогательной фазовой плоскости Р*. Расположение траекторий на фазовой плоскости Р получается из этого с помощью аффинного преобразования и зависят от положения собственных векторов (см., например, рис. 11 и 12).

Рассмотрим теперь случай, когда собственные значения матрицы А комплексны. В этом случае они комплексно сопряжены и могут быть обозначены через

и , причем . Собственные векторы матрицы А могут быть выбраны сопряженными, так что их можно обозначить через h и . Положим:

где

и — действительные векторы. Векторы и линейно независимы, так как в случае линейной зависимости между ними мы имели бы линейную зависимость между h и . Итак, векторы и можно принять, за базис фазовой плоскости Р уравнения (2).

Произвольное действительное решение уравнения (2) можно записать в виде:

(9)

где с — комплексная константа. Пусть

тогда мы имеем:

Отобразим аффинно фазовую плоскость Р на вспомогательную плоскость Р* комплексного переменного

так, чтобы вектор перешел в единицу, а вектор - в i; тогда вектору будет соответствовать комплексное число . В силу этого отображения фазовая траектория (9) перейдет в фазовую траекторию на плоскости Р*, описываемую уравнением

(10)

Рис. 11. Рис. 12.

В) Фокус и центр. Перепишем уравнение (10) в полярных координатах, положив

Таким образом, получаем:

это есть уравнение движения точки в плоскости Р*. При

каждая траектория оказывается логарифмической спиралью. Соответствующая картина на плоскости Р называется фокусом. Если , то точка при возрастании t асимптотически приближается к началу координат, описывая логарифмическую спираль. Это – устойчивый фокус (рис. 13, а). Если , то точка уходит от начала координат в бесконечность, и мы имеем неустойчивый фокус (рис. 13, б). Если число равно нулю, то каждая фазовая траектория, кроме положения равновесия (0,0), замкнута, и мы имеем так называемый центр (рис. 14).

а) Рис. 13 б)

Рисунки 13 и 14 дают картину во вспомогательной фазовой плоскости; в плоскости Р картина аффинно искажается (см., например, рис. 15 и 16).

Рис. 14. Рис. 15.

Выше мы рассматривали так называемые невырожденные случаи: корни

и различны и отличны от нуля. Малое изменение элементов матрицы не меняет в этих предположениях общего характера поведения фазовых траекторий. Исключение составляет случай центра: при малом изменении элементов матрицы равенство может нарушиться, и центр перейдет в устойчивый или неустойчивый фокус.

ГЛАВА III. теоремы существования

§ 12. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения

В этом параграфе будет дано доказательство сформулированной в § 1 теоремы 1 существования и единственности для одного уравнения первого порядка

(1)

правая часть которого определена и непрерывна вместе со своей частной производной

на некотором открытом множестве Г плоскости Р переменных t, х. Доказательство теоремы 2, приводимое в следующем параграфе, представляет собой усложнение доказательства теоремы 1 и содержит его как частный случай. Доказательство теорем 1 и 2 проводится методом последовательных приближений, принадлежащим Пикару и применяемым в анализе при доказательстве многих теорем существования. Этот метод является одновременно методом приближенного вычисления решения и потому имеет большую практическую ценность. В некоторых случаях метод последовательных приближений может быть истолкован как метод сжатых отображений.

Основные идеи доказательства

Первым шагом при доказательстве теоремы 1 методом последовательных приближений является переход от дифференциального уравнения к интегральному, который мы формулируем в виде отдельного предложения.