Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 18 из 26)

В этом смысле отображение А является сжатым (правильнее было бы сказать «сжимающим»).

Легко видеть, что если для семейства

выполнены формулированные условия, то, исходя из произвольной его функции , мы по индуктивной формуле (10) получим бесконечную последовательность (9), удовлетворяющую условию (11), и, как было отмечено выше, равномерно сходящуюся к решению уравнения (7).

Перейдем теперь к доказательству теоремы 1 на основе изложенных соображений.

Доказательство теоремы 1

Начальные значения

и искомого решения уравнения (1) являются координатами точки , лежащей в множестве Г. Выберем прежде всего какой-либо прямоугольник П с центром в точке со сторонами, параллельными осям, целиком вместе со своей границей содержащихся в множестве Г (рис. 17). Длину горизонтальной (параллельной оси t) стороны прямоугольника П обозначим через 2q, а длину вертикальной стороны – через 2а. Таким образом, точка тогда и только тогда принадлежит прямоугольнику П, когда выполнены неравенства:

, (12)

Так как прямоугольник П есть замкнутое множество, содержащееся в Г, то непрерывные на нем функции f

и ограничены, и потому существуют такие положительные числа М и К, что для t и x, удовлетворяющих условиям (12), выполнены неравенства

, (13)

Наряду с прямоугольником П будем рассматривать более «узкий» прямоугольник

, определяемый неравенствами

, (14)

где

(см. рис. 17). Более точно число r определим далее. Обозначим через

семейство всех непрерывных функций, заданных на отрезке , графики которых проходят в прямоугольнике . Таким образом, функция , определенная на отрезке , тогда и только тогда принадлежит семейству , когда для любого t, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство

(15)

Постараемся теперь выбрать число r таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия:

а) Если функция

принадлежит семейству , то функция (см. (5), (6)) также принадлежит семейству .

б) Существует такое число

что для любых двух функций и семейства имеет место неравенство

(16)

Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция

принадлежала семейству необходимо и достаточно, чтобы при было выполнено неравенство

В силу (5) и (13) мы имеем:

Из этого видно, что при

(17)

условие а) выполнено.

Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем:

,

.

Вычитая второе равенство из первого, получаем:

(18)

Оценим теперь последнее подынтегральное выражение, пользуясь формулой Лагранжа и вторым из неравенств (13):

; (19)

здесь

– число, заключенное между и и, следовательно, удовлетворяющее неравенству . Из (18) и (19) следует:

Таким образом, условие б) выполнено, если число

меньше единицы, т. е. если

(20)

Итак, если число r удовлетворяет неравенствам (14), (17) и (20), то для семейства

выполнены условия а) и б). В дальнейшем будем считать число r выбранным таким образом, что неравенства (14), (17) и (20) для него выполнены.

Построим теперь последовательность

(21)

функций, определенных на отрезке

, положив:

(22)

(23)

Так как функция (22) принадлежит семейству

, то и все функции последовательности (21) принадлежат этому же семейству (см. условие а)). Далее, мы имеем (см. (15)):

В силу (16) получаем:

,

откуда

Таким образом, и силу В), последовательность (21) равномерно сходится на отрезке

к некоторой непрерывной функции . Так как все функции последовательности (21) принадлежат семейству то и функция принадлежит ему (см. (15)). Покажем, что функция удовлетворяет уравнению (7). Для этого заметим, что последовательность

равномерно сходится к функции

; действительно, мы имеем:

.

Переходя в соотношении (23) к пределу при

, получаем:

Итак, существование решения

уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (3), доказано; при этом установлено, что решение определено на интервале , где r – произвольное число, удовлетворяющее неравенствам (14), (17) и (20).