мы перепишем систему (1) в векторной форме:
. (3)Доказательство будет проводиться в векторной форме методом последовательных приближений, и будет представлять собой почти буквальное повторение доказательства теоремы 1, данного в предыдущем параграфе.
Для того чтобы непринужденно пользоваться векторными обозначениями, установим прежде всего некоторые естественные определения и простые неравенства для векторов и векторных функций.
Длина или модуль
вектора (2), как известно, определяется формулой .Известно и без труда доказывается, что если х и у суть два вектора, то имеет место неравенство
.Из этого неравенства следует аналогичное неравенство и для произвольного числа векторов
именно: (4)Пусть
— непрерывная векторная функция действительного переменного t, т. е. вектор, координаты которого являются непрерывными функциями переменного t. Если функция определена на интервале , то при на том же интервале можно определить векторную функцию ,задав компоненты
вектора формулами ;при этом имеет место неравенство
Установим еще одно неравенство для векторной функции
векторного переменного х, заданной на выпуклом множестве
пространства переменных . Предположим, что имеют место неравенства: ,где К — положительное число. Оказывается тогда, что для двух любых точек х и у множества
выполнены неравенства . (6)Так же, как при доказательстве теоремы 1, от дифференциального уравнения (3) перейдем к интегральному.
А) Пусть
— некоторое решение дифференциального уравнения (3), так что выполнено тождество (7)и пусть
— начальное условие, которому это решение удовлетворяет. Оказывается, что совокупность соотношений (7) и (8) эквивалентна одному соотношению
(9)Докажем это. Допустим, что выполнено интегральное тождество (9). Подставляя в него
, получаем равенство (8), а дифференцируя его по t, получаем тождество (7). Допустим теперь, что выполнены соотношения (7) и (8). Интегрируя соотношение (7) в пределах от и и принимай во внимание соотношение (8), мы получаем соотношение (9).Б) Пользуясь правой частью тождества (9), каждой векторной функции
, график которой проходит в множестве Г, поставим в соответствие функцию , положив: . (10)Кратко, в операторной форме то же соотношение запишем в виде:
. (11)Уравнение (9) теперь может быть записано в виде:
. (12)В) Пусть
— непрерывная векторная функция, заданная на отрезке . Определим норму этой функции, положив:Пользуясь понятием нормы, можно формулировать определение равномерной сходимости последовательности
(13)непрерывных векторных функций, заданных на отрезке
. Последовательность (13) векторных функций равномерно сходится к непрерывной функции , заданной на том же отрезке , если .Для того чтобы последовательность (13) равномерно сходилась, достаточно, чтобы были выполнены неравенства
где числа
образуют сходящийся ряд.Прейдем теперь к доказательству теоремы 2.
Так как точка
принадлежит открытому множеству Г, то существуют такие положительные числа q и a, что все точки , удовлетворяющие условиям , (14)лежат в множестве Г. Так как множество П, состоящее из всех точек
удовлетворяющих условиям (14), замкнуто и ограничено (рис.18), то. непрерывные функции и ,ограничены на нем, т. е. существуют такие положительные числа М и К, что
, (15)на множестве П.
Наряду с множеством П рассмотрим содержащееся в нем множество
определяемое неравенствами ,где
(16)(рис. 18). Обозначим через
семейство всех непрерывных векторных функций, заданных на отрезке , графики которых проходят в . Таким образом, функция , определенная на отрезке , тогда и только тогда принадлежит семейству когдаРис. 18.
для любого t, принадлежащего этому отрезку, выполнено неравенство
(17)Постараемся выбрать теперь число r таким образом, чтобы были выполнены следующие два условия:
а) Если функция
принадлежит семейству , то функция (см. (10), (11)) также принадлежит семейству .