б) Существует такое число
, что для любых двух функций семейства , имеет место неравенство (18)Рассмотрим условие а). Для того чтобы функция
принадлежала семейству , необходимо и достаточно, чтобы при было выполнено неравенство: .В силу (10), (5) и (15) мы имеем:
.Из этого видно, что при
(19)условие а) выполнено.
Рассмотрим теперь условие б). Мы имеем:
. (20)Оценим теперь последнее подынтегральное выражение, пользуясь неравенствами (6) и (15):
. (21)Из (20) и (21) следует
Таким образом, условие б) выполнено, если
, (22)где
.Итак, если число r удовлетворяет неравенствам (16), (19), (22) (которые мы в дальнейшем будем считать выполненными), то для семейства
выполнены условия а) и б).Построим теперь последовательность векторных функций
, (23)определенных на отрезке
, положив (24)Так как функция
принадлежит семейству , то и все функции последовательности (23) принадлежат этому же семейству (см. условие а)). Далее, мы имеем (см. (17)):В силу (18) получаем:
,отсюда
. (25)Таким образом, в силу В) последовательность (23) равномерно сходится к некоторой непрерывной функции
, принадлежащей семейству . Покажем, что функция удовлетворяет уравнению (12). Для этого заметим, что последовательностьРавномерно сходится к функции
; действительно, мы имеем (см. (18)) .Переходя в соотношении (24) к приделу при
, получаем: .Итак, существование решении
уравнения (3), удовлетворяющего начальному условию (8), доказано; при этом установлено, что решение определено на интервале , где r – произвольное число; удовлетворяющее неравенствам (16), (19), (22).Перейдем теперь к доказательству единственности. Пусть
и - два решения уравнения (3) с общими начальными значениями и — интервал, являющийся пересечением интервалов существования решений и ; очевидно, что . Покажем, что если решения и совпадают в некоторой точке интервала , то они совпадают и на некотором интервале , где r – достаточно малое положительное число. Положим ; тогда величины могут быть приняты за начальные значения обоих решений и . В этом смысле точка ничем не отличается от точки и потому мы сохраним за точкой обозначение ; это позволит нам сохранить и другие прежние, обозначения. Переходя от дифференциального уравнения (3) к интегральному уравнению (9), мы получаем для обеих функций и интегральные равенства, которые в операторной форме могут быть записаны в виде: . (26)Выберем теперь, как и прежде, в множестве Г множество П с центром в точке
(см, неравенства (14)), содержащееся в Г, а затем множество таким образом, чтобы число r, кроме неравенств (16), (19), (22), удовлетворяло еще тому условию, что при функции и определены и удовлетворяют неравенствам: , .Это возможно, так как функции
и непрерывны. Тогда функции и , рассматриваемые на, отрезке , входят в семейство и, следовательно, в силу неравенства (18) и соотношений (26), получаем: ,а это возможно только тогда, когда
, т.е. когда функций и совпадают на отрезке .Докажем теперь, что функции
и совпадают на всем интервале . Допустим противоположное, именно, что существует точка интервала , для которой . Ясно, что . Для определенности будем считать, что . Обозначим через N множество всех тех точек отрезка , для которых , и докажем, что множество N замкнуто. В самом деле, пусть — последовательность точек множества N, сходящаяся к некоторой точке . Тогда , и потому, в силу непрерывности функций и ,