т.е. точка
также принадлежит множеству N.Обозначим через
точную верхнюю грань множества N. Так как N замкнуто, то принадлежит этому множеству, т. е ; следовательно, . Но тогда, в силу ранее доказанного, функции и должны совпадать на некотором интервале , и точка не может быть точной верхней гранью множества N. Таким образом, мы пришли к противоречию.Итак, теорема 2 доказана.
§ 14. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки
Во многих задачах механики и техники бывает важно знать не конкретные значения решения при данном конкретном значении аргумента, а характер поведения решения при изменении аргумента и, в частности, при неограниченном возрастании аргумента. Например, бывает важно знать, являются ли решения, удовлетворяющие данным начальным условиям, периодическими, приближаются ли они асимптотически к какой-либо известной функции и т.д. Этими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений.
Одним из основных вопросов качественной теории является вопрос об устойчивости решения или об устойчивости движения; этот вопрос был подробно исследован знаменитым русским математиком А.М. Ляпуновым (1857-1918).
Пусть дана система дифференциальных уравнений
. (1)Пусть
и - решения этой системы, удовлетворяющие начальным условиям (1’)Пусть далее,
и - решения уравнения (1), удовлетворяющие начальным условиям (1”)Решения
и , удовлетворяющие уравнениям (1) и начальным условиям (1’), называются устойчивыми по Ляпунову при , если для каждого как угодно малого можно указать такое, что при всех значениях будут выполняться неравенства (2)если начальные данные удовлетворяют неравенствам
(3)Выясним смысл этого определения. Из неравенств (2) и (3) следует, что при малых изменениях начальных условий мало отличаются соответствующие решения при всех положительных значениях
. Если система дифференциальных уравнений является системой, описывающей некоторое движение, то в случае устойчивости решений характер движений мало изменяется при малом изменении начальных данных.Рассмотрим, далее, систему линейных дифференциальных уравнений
(4)Будем предполагать, что коэффициенты
постоянные, при этом очевидно, что есть решение системы (4), в чем убеждаемся непосредственной подстановкой. Исследуем вопрос о том, каким условиям должны удовлетворять коэффициенты системы, чтобы решение было устойчиво. Это исследование проводится так.Дифференцируем первое уравнение и исключаем
и на основании уравнений системы:или
. (5)Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (5) имеет вид
(6)Обозначим корни характеристического уравнения (7) через
и . Как мы увидим ниже, устойчивость или неустойчивость решений системы (4) определяется характером корней и .Рассмотрим все возможные случаи.
I. Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные:
. Из уравнения (5) находимЗная х, из первого уравнения (4) находим у. Таким образом, решение системы (4) имеет вид:
(8)Если g = 0 и
, то уравнение (5) мы составим для функции у. Найдя у, из второго уравнения системы (4) находим х. Структура решений (8) сохранится. Если же g = 0, а=0, то решение системы уравнений принимает вид: (8’)Анализ характера решений в этом случае производится проще.
Решение, удовлетворяющее начальным условиям, будет
(9)Из последних равенств следует, что при любом
можно выбирать и столь малыми, что для всех t > 0 будет , так как .В случае решений (9) особая точка называется устойчивым узлом (рис.9 а). Говорят, что точка, неограниченно приближается к особой точке при
.