Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 23 из 26)

II. Корни характеристического уравнения действительные, положительные, различные:

. В этом случае решения выражаются также формулами (8) и соответственно (9). Но в данном случае при как угодно малых и будет при , так как и при . На фазовой плоскости особая точка – неустойчивый узел: при точка на траектории удаляется от точки покоя х = 0, у = 0 (рис. 9 б).

III. Корни характеристического уравнения действительные, разных знаков, например,

. Из формул (9) следует, что при как угодно малых и , если , будет при . Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется седлом (рис. 10).

IV. Корни характеристического уравнения комплексные с отрицательной действительной частью:

. Решение системы (4) будет

(11)

Если ввести обозначение

то уравнения (11) можно переписать в виде

(12)

где

и - произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий , при t = 0, причем

откуда находим

(13)

Снова заметим, что если g=0, то вид решения будет несколько иной, но характер анализа не изменится. Очевидно, что при любом

при достаточно малых и будут выполняться соотношения

.

Решение устойчиво. В данном случае при

и ,

неограниченное число раз меняя знаки. На фазовой плоскости особая точка называется устойчивым фокусом (рис. 13 а).

V. Корни характеристического уравнения комплексные с положительной действительной частью:

. В этом случае решение также выразится формулами (11), где . При любых начальных условиях и и при величины и могут принимать как угодно большие значения. Решение неустойчиво. На фазовой плоскости особая точка называется неустойчивым фокусом. Точка по траектории неограниченно удаляется от начала координат (рис. 13 б).

VI. Корни характеристического уравнения чисто мнимые:

. Решение (11) в этом случае примут вид

(14)

Постоянные

и определяются по формулам (13):

(15)

Очевидно, что при любом

и при всех достаточно малых и будет при любом t. Решение устойчиво. Здесь х и у – периодические функции от t.

Чтобы произвести анализ интегральных кривых на фазовой плоскости, целесообразно первое из решений (14) записать в в следующем виде (см. (12)):

(16)

где С,

- произвольные постоянные. Из выражений (16) следует, что х и у – периодические функции от t. Исключаем параметр t из уравнений (16):

Освобождаясь от радикала, получим

(17)

Это семейство кривых 2-го порядка (кривые действительные), зависящих от произвольной постоянной С. Каждая из них не имеет неограниченно удаленных точек. Следовательно, это семейство эллипсов, окружающих начало координат (при с=0 оси эллипсов параллельны осям координат). Особая точка называется центром (рис. 14).

VII. Пусть

. Решение (8) в этом случае принимает вид

(18)

Очевидно, что при любом

и при достаточно малых и будет , при t > 0. Следовательно, решение устойчиво.

VIII. Пусть

. Из формул (18) или (8’) следует, что решение неустойчиво, так как при .

IX. Пусть

. Решение будет

(19)

Так как

и при , то для любого можно подобрать и такие (путем выбора и ), что будет при любом t > 0. Следовательно, решение устойчиво. При этом и при .

Заметим, что в случае

форма решения (18) сохраняется, но при

.