Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 25 из 26)
Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня
решение системы (1): 
Для корня
составим систему (3): 
Пусть
=1, тогда получаем систему: 
Решим эту систему с помощью программы реализующей метод Гаусса (см. приложение.)
Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса
Введите порядок матрицы системы (max. 10)
> 4
Введите расширенную матрицу системы
A 1 2 3 4 b
1 -9.1 3 0 1 1
2 3 -13.1 3 0 -2
3 -8 0 -19.1 3 7
4 4 -6 9 -24.1 1
Результат вычислений по методу Гаусса
1 = -1.1863988144E-01 2 = 4.5529392393E-02 3 = -3.5073275152E-01 4 = -2.0434711016E-01Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня
решение системы (1): 
Для корня
составим систему (3):
Пусть
=1, тогда получаем систему: 
Решив эту систему методом Гаусса, получим:
Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня
решение системы (1): 
Для корня
составим систему (3): 
Пусть
=1, тогда получаем систему: 
Решив эту систему методом Гаусса, получим:
Таким образом, используя формулу (2) получаем для корня
решение системы (1): 
Выпишем комплексное решение
Решением будут действительные и мнимые части:
Теперь можем написать общее решение
Исследуем устойчивость решения системы (1). Корни характеристического уравнения
Для того, чтобы решение было устойчивым необходимо чтобы все действительные части корней характеристического уравнения были отрицательными. В данном случае
положительные. Отсюда делаем вывод, что решение системы (1) неустойчиво.ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе исследовательской работы были рассмотрены линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами, системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и один из методов их решения – метод исключения. Также были рассмотрены автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Было проведено исследование фазовой плоскости линейных систем второго порядка. В работе приведены доказательства теорем существования и единственности как для одного уравнения, так и для нормальной системы уравнений. В ходе исследовательской работы было рассмотрено лишь понятие об устойчивости решений, не были рассмотрены важнейшие теоремы устойчивости, что является темой для дальнейшего исследования. В каждом параграфе приведены примеры, что значительно облегчает понимание темы.
Характерным для данной работы является то, что многие важные утверждения и их доказательства приведены в виде предложений или примеров, обозначенных А), Б), и т.д. Поэтому при изучении некоторых тем игнорирование этих примеров нежелательно, так как они используются при доказательстве основных теорем.
В практической части работы было найдено общее решение системы дифференциальных уравнений
При решении этой системы была использована программа Mach Cad, составлена программа реализующая метод Гаусса на языке программирования Паскаль. При исследовании решения системы было выяснено, что решение системы не устойчиво.
ЛИТЕРАТУРА
1. Видаль П. Нелинейные импульсные системы: Монография: Пер. с фр. – М.: энергия, 1994. – 336с.
2. Гукасов Н.А. Механика жидкости и газа: Учеб. пособие для вузов. – М.: 1996. – 443с.
3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: – 5-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1976. – 576с.
4. Мудров А.Е.Численные методы для ПЭВМ на языках Паскаль, Фортран и Бейсик. МП “Раско”, Томск, 1991 г.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2: Учеб. пособие для втузов. – 13-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. – 560 с.
6. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: – 4-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1974. – 332с.
7. Турчак Л. И. Основы численных методов: Учеб. пособие. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1987.
8. Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов/ Под ред. В. М. Заварыкин, В. Г. Житомирский, М. П. Лапчик. – М.: Просвещение, 1990.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Описание алгоритма. В данной программе реализован метод Гаусса со схемой частичного выбора.
В переменную n вводится порядок матрицы системы. С помощью вспомогательной процедуры ReadSystem в двумерный массив a и одномерный массив b вводится c клавиатуры расширенная матрица системы, после чего оба массива и переменная n передаются функции Gauss. В фукции Gauss для каждого k-го шага вычислений выполняется поиск максимального элемента в k-м столбце матрицы начинаяя с k-й строки. Номер строки, содержащей максимальный элемент сохраняеется в переменной l. В том случае если максимальный элемент находится не в k-й строке, строки с номерами k и l меняются местами. Если же все эти элементы равны нулю, то происходит прекращение выполнения функции Gauss c результатом false. После выбора строки выполняется преобразование матрицы по методу Гаусса. Далее вычисляется решение системы и помещается в массив x. Полученное решение выводится на экран при помощи вспомогательной процедуры WriteX.
Листинг программы
Uses CRT;
Const
maxn = 10;
Type
Data = Real;
Matrix = Array[1..maxn, 1..maxn] of Data;
Vector = Array[1..maxn] of Data;
{ Процедура ввода расширенной матрицы системы }
Procedure ReadSystem(n: Integer; var a: Matrix; var b: Vector);
Var
i, j, r: Integer;
Begin
r := WhereY;
GotoXY(2, r);
Write('A');
For i := 1 to n do begin
GotoXY(i*6+2, r);
Write(i);
GotoXY(1, r+i+1);
Write(i:2);
end;
GotoXY((n+1)*6+2, r);
Write('b');
For i := 1 to n do begin
For j := 1 to n do begin
GotoXY(j * 6 + 2, r + i + 1);
Read(a[i, j]);
end;
GotoXY((n + 1) * 6 + 2, r + i + 1);
Read(b[i]);
end;
End;
{ Процедура вывода результатов }