Система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (стр. 3 из 26)
Примеры:
1. Для того чтобы проиллюстрировать значение теоремы 1 (в данном случае второй ее части), решим дифференциальное уравнение
(5)где
- действительное число. Здесь 
так что функция
в действительности зависит лишь от переменного х. Множество точек, на котором определена функция , в данном случае совпадает со всей плоскостью Р. Как сама функция , так и ее производная 
являются непрерывными функциями переменных t и x во всей плоскости Р. Таким образом, теорема 1 к уравнению (5) применима. Непосредственной подстановкой в уравнение (5) проверяется, что каждая функция 
, (6)где с — произвольное действительное число, является решением уравнения (5). Решение это непродолжаемо, так как оно задано уже на всей прямой
. Покажем, что, придавая всевозможные значения числу с, мы получим все решения уравнении (5). Пусть 
- произвольное решение этого уравнения. Покажем, что при надлежащем выборе числа с мы имеем 
. Пусть 
- некоторая точка интервала существования решения 
и 
. Положим 
. Тогда решения и 
уравнения (5) имеют одинаковые начальные значения 
и потому в силу второй части теоремы 1 совпадают. Таким образом, формула (6) исчерпывает совокупность всех решений дифференциального уравнения (5).§ 2. Формулировка теоремы существования и единственности
В §1 было рассмотрено одно дифференциальное уравнение первого порядка, причем была сформулирована теорема существования и единственности для этого уравнения. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений имеет дело и с более общими системами уравнений. Обычно система обыкновенных дифференциальных уравнений состоит из стольких уравнений, сколько в нее входит неизвестных функций; при этом все неизвестные функции являются функциями одного и того же независимого переменного. Во всех случаях теорема существования и единственности является основным теоретическим положением, дающим возможность подойти к изучению данной системы дифференциальных уравнений.
Теорема существовании и единственности формулируется и доказывается применительно к системе уравнений, по внешнему виду имеющей несколько частный тип. В действительности же к этой системе уравнений сводятся системы сравнительно общего типа. Системы дифференциальных уравнений того частного тина, о котором здесь идет речь, мы будем называть в дальнейшем нормальными.
Система
(1)обыкновенных дифференциальных уравнений называется нормальной. В этой системе t —независимое переменное,
— неизвестные функции; этого переменного, а 
— функции от 
переменных, заданные на некотором открытом множестве Г пространства размерности , в котором координатами точки являются числа 
. В дальнейшем всегда будет предполагаться, что функции 
(2)непрерывны на открытом множестве Г; точно так же будет предполагаться, что и их частные производные
(3)существуют и непрерывны на множестве Г. Следует заметить, что частные производные (3), непрерывность которых предполагается, берутся только по переменным
, а не по независимому переменному t.Решением системы уравнений (1) называется система непрерывных функций
, (4)определенных на некотором интервале
и удовлетворяющих системе (1). Интервал называется интервалом определения решения (4) (случаи 
, 
не исключаются). Считается, что система функций (4) удовлетворяет системе уравнений (1), если при подстановке в соотношение (1) вместо 
функций (4) соотношения (1) превращаются в тождества по t на всем интервале 
. Для возможности этой подстановки необходимо, чтобы функции (4) имели производные в каждой точке интервала 
и чтобы правые части уравнений (1) были определены для всех подставляемых в них значений аргументов. Таким образом, точка с координатами 
должна принадлежать, множеству Г для всех значений t на интервале
.Дадим теперь формулировку теоремы существовании и единственности для нормальной системы (1). (Доказательство будет приведено в § 13.)
Теорема 2. Пусть (1) — нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь правые части уравнений (1) определены на некотором открытом множестве Г, а функции (2) и (3) непрерывны на этом множестве. Оказывается, что для каждой точки
(5)множества Г существует решение
, 
(6)системы (1), определенное на некотором интервале, содержащем точку
, и удовлетворяющее условиям: 
; (7)Далее, оказывается, что если имеются два каких-либо решения
(8)системы (1), удовлетворяющих условиям
(9)причем каждое решение определено на своем собственном интервале значений переменного t, содержащем точку
то решения эти совпадают всюду, где они оба определены.Значения (5) называются начальными для решения (6), а соотношения (7) называются начальными условиями для этого решения. Мы будем говорить в дальнейшем, что решение (6) имеет начальные значения (5) или удовлетворяет начальным условиям (7).
Таким образом, теорему существования и единственности для нормальной системы кратко можно формулировать так:
Каковы бы ни были начальные значения (5), всегда существует решение системы (1) с этими начальными значениями, определенное на некотором интервале, содержащем точку
. Далее, если имеются два решения с одинаковыми начальными значениями (5), каждое из которых определено на своем интервале, содержащем , то эти решения совпадают на общей части этих интервалов.Введем здесь понятие непродолжаемого решения.
А) Пусть